X-4-X'=r, X'-f-Y'«^ d'où Y'-X

Le point Y'', ainsi déterminé, se confond avec le point Y; ce qui ^^OQontre la proposition énoncée.

Ainsi, la droite joignant deux points conjugués quelconques

^ appuie sur les deux arêtes opposées du tétraèdre qui définissent

'^ mode de groupement; réciproquement, toute droite s'appuyani

^Ur ces deux arêtes, et rencontrant la courbe, la rencontre en deux

points conjugués.

Si nous considérons une surface quelconque du second ordre S Passant par K, les deux arêtes OP et QR sont des droites polaires **^ciproques, relativement à cette surface; Tune de ces droites la ^Oupe donc en deux points réels tïj et to'. Deux points conjugue' s ^Vielconques et les points tîj et r:/ sont dans un même plan qui ^^upe la surface suivant une conique divisée harmoniquement par ^^s quatre points considérés.

6. Si Ton détermine tous les couples de points conjugués qui Correspondent au mode de groupement caractérisé par les deux Prêtes OP et QR, ou par la demi-période /?, les droites joignant Ces différents points forment une surface réglée ayant pour droites doubles les arêtes OP et QR; cette surface est évidemment du quatrième ordre; je la désignerai par la notation T^.

Si l'on appelle Y et X les points où une génératrice quelconque de cette surface s'appuie sur la courbe, Ton a

Y-X^-/,, Il y a lieu de considérer deux autres surfaces de même espèce

caractérisées parles demi -péri odes ^ et r; je les désignerai parT^ et Tr.

7. A e/ B étant deux points quelconques de K, par la corde AB on peut mener quatre plans tangents à la courbe; les quatre points de contact sont les sommets d^un tétraèdre. Deux arêtes opposées quelconques de ce tétraèdre rencontrerU deux arêtes opposées du tétraèdre OPQR.

Appelons X Tun quelconque des points de contact des plans tangents cherchés, on a la relation

A-+-B-+-2Xso; d'où Ton déduit pour X les quatre valeurs suivantes :

'"■ (v-(iiJ')^,. X"-(*±J>)...

Considérons deux quelconques des arêtes opposées du tétraèdre

XX'X'X'", par exemple les arêtes X'X" et X'^X*"; Ton a

X'—X'-p et X'^ — X-^s/?,

puisque r^p -^ q.

La proposition est donc démontrée; les deux arêtes X'X*^ et X'^X"" sont deux génératrices de la surface Tp.

8. Supposons maintenant que la corde AB soit elle-même une génératrice de Tp, en sorte que Ton ait

désignons toujours par X', X'', X'" et X*' les quatre points de contact des plans que Ton peut mener par cette corde tangentiellement à la courbe. Des quatre arêtes du tétraèdre X'X''X'"X*% deux sont aussi des génératrices de T^; ce sont les droites X'X"^ etX^"X'\

Choisissons arbitrairement une de ces droites, X'X*' par exemple; il est facile de voir que les quatre droites AX', AX*', BX', BX" sont des génératrices d'une même surface du second

PROBLÈME RELATIF AUX COURBES GAUCHES DU QUATRIEME ORDRE. l49

ordre passant par K. Les congruences (a), qui déterminent X', X', X** et X*^, donnent, en effet, si l'on tient compte de la relation (?),

^i'I A + X'sB-f-X's: ^ et Ah-X'sB + X'^-^.

Celle surface du second ordre est caractérisée par la conslante

± ~; on voit qu'elle est la même, quelle que soit la génératrice AB

de la surface T^ que l'on ait choisie. Je la désignerai dans ce qui suit par la lettre S^ .

Relativement à cette surface S^, je dirai que les droites AB etX'X'sont deux génératrices associées de la surface T^.

Puisque les droites AX', AX", BX' et BX" sont des génératrices de S;,, Ton voit que deux génératrices associées sont des droites polaires réciproques l'une de l'autre par rapport à S^,.

Si nous avions fait correspondre la droite X'"X*'' à la corde AB, nous aurions démontré de même que les droites AX'", AX*"", BX'" et BX'^ étaient les génératrices d'une même surface du second ordre passant par la courbe K et caractérisées par la constante

Je désignerai cette deuxième surface par la notation S;,'.

Les droites telles que AB etX'"X*^ seront dites des génératrices associées de Tp relativement à la surface S^^.

La considération des surfaces T^ et Tr conduirait de même à la considération de quatre autres surfaces du second ordre S^, S^^; Sr et Sr".

La propriété que j'ai signalée des six surfaces S^,, S^'; S^, S^»; Sr, Sr', à savoir : qu'à chacune d'elles correspond une surface réglée du quatrième ordre dont chaque génératrice s'appuie en deux points de K et qui est à elle-même sa transformée par polaires réciproques, lorsque l'on prend pour base la surface considérée, est caractéristique de ces surfaces.

Étant donnée une droite s'appuyant en deux points sur K et telle que sa polaire, par rapport à une surface de second degré passant par cette courbe, s'appuie aussi en deux points sur cette courbe, on démontrera facilement que cette droite est une gêné-

iTm géométrie.

rai ri ce de l'une des Irois surfaces T^, T^ et Tr, et que la surface du second degré est une des six surfaces que j'ai mentionnées et (|ui correspondent deux à deux à Ty,, T^ et T,..

9. Lemme. — Etant données deux génératrices quelconques G et G' de la surface T^, associées par rapport à la surface S;,, et deux génératrices quelconques H et H' de T^, associées par rapport à S^', ces quatre droites et les arêtes OP, OQ sont toujours situées sur un même hyperboloïde.

En elFet, les droites H, H' et G, qui s'appuient toutes les trois sur OP el sur OQ, déterminent un hyperboloïde, dont l'intersection avec la surface Ty, est une courbe du huitième ordre.

Les droites H, H', G, OP et OQ faisant partie de l'intersection et CCS deux dernières devant, cliacune, compter pour deux, puisqu'elles sont des droites doubles de T^,, la courbe d'intersection ne peut être complétée que par une sixième droite- Il s'agit de prouver que cette droite est précisément G'.

A cet effet, désignons respectivement par A, A| ; h\ h\ \ g^ g\\ x^ x^ les points où s'appuient sur la courbe K les droites H, H', G et la droite cherchée.

Les droites H et H' étant associées par rapport à la surface S^-, l'on a

A — A, =/?, h'—h\^p^ A'-h/i = — -Hç;

a droite G et la droite cherchée étant des génératrices de T^,, l'on a aussi

g — S\^P et x — xx^p.

Maintenant, remarquons que les huit points A, h^ ; A', h\ ] g^ gi; .r, Xx étant les points d'intersection de K avec une surface de second degré, on a, d'après les principes posés par M. Clebsch,

A -+- Ai -4- A' -h /i i -h ^ -h ^1 -+- a? -h iTi = o. On déduit facilement des relations précédentes

D'où l'on voit que la droite cherchée xxt ne peut être que l'as-

PROBLÈME RELATIF AUX COURBES GAUCHES DU QUATRIEME ORDRE. l5l

sociée de G relativement à la surface S^ ou son associée relativement à la surface S^,.

La dernière hypothèse ne peut être admise.

Considérons en effet les quatre droites H, H'; G et xXi^ qui sont quatre génératrices d'un même système de l'hyperboloïde.

Les droites de ce groupe ne font que s'échanger entre elles, lorsqu'on prend leurs polaires relativement à S^,'; l'hyperboloïde qui les contient devrait donc se transformer en lui-même en employant une transformation par polaires réciproques ayant pour base S^'.

Ce qui est impossible, puisque l'hyperboloïde ne se confond pas avec S;,'.

L'hypothèse précédente étant donc écartée, il s'ensuit que la droite cherchée est la génératrice associée à G relativement à la «"«•face S;,.

^e qui démontre le lemme énoncé ci-dessus.

^onoLLAïRE. — Prenons la trace de T^ sur un plan quel- ^^^que; soient II et II' les points où ce plan rencontre tes ^^^t^s OP et QR, ces points sont les deux points doubles de la ^oiirf^e du quatrième ordre qui forme cette trace.

Soient a et P les points où deux génératrices quelconques, ^socîées par rapport à S;,', coupent le plan sécant.

''-'^signons en général para; et y les deux points de la courbe

^ *G plan sécant coupe deux génératrices mobiles de Ty, associées

r^ï' i*apport à S^; il résulte du lemme précédent que, quel que

*^ le couple de points :f et^ que l'on considère, ces deux points

^**^ahleset les quatre points fixes a, p. Il et II' sont sur une même

"lO. Lemme. — Étant donnés une courbe du quatrième ordre

^yont deux points doubles U et II', et deux points fixes oLCt^

P^is sur cette courbe, si l'on mène par ces quatre points

^^e conique quelconque,, la droite qui Joint les deux autres

Points x^ jTy oà la conique variable rencontre de nouveau la

tourbe, enveloppe une conique.

Joignons les points II et II' à un point E pris arbitrairement

iSl GÉOMÉTRIE.

dans l'espace et, par les droites EH et EH', faisons passer une surface du second degré quelconque A. Le cône, ayant pour sommet E et pour base la courbe du quatrième degré, coupera cette surface suivant une biquadratique B. Soient a et b les projections coniques des points a et ^ sur la courbe B, X et Y les projections coniques des points variables xeiy] les points a, p, X, y et n, n' étant sur une même conique, il en résulte que les points a, 6, X et Y sont dans un même plan. Comme, d'ailleurs, ils sont situés sur la biquadratique, l'on voit que la droite Xi engendre dans l'espace une surface du second degré; les droites telles que xy^ qui, dans le plan sécant, sont les projections des génératrices de cette surface, enveloppent donc une conique.

Corollaire. — De ce Icmme et du corollaire précédent, il résulte immédiatement la proposition suivante :

Si Von coupe la surface Tp par un plan quelconque et n Von désigne, pour un instant, sous le nom de points associés de la courbe d'intersection, les points de cette courbe qui appartiennent à deux génératrices de Hp associées relativement à Sp, les droites qui joignent deux points associés quelconques enveloppent une conique,

11. Si d'un point de V espace A, on mène les différentes droites qui rencontrent deux génératrices de Tp associées entre elles par rapport à la sur/ace S^, ces droites forment un cône du second degré.

En effet, pour trouver le degré du cône formé par ces droites, menons par A un plan quelconque M et cherchons combien ce conc contient de droites satisfaisant à la condition donnée.

Ces droites doivent évidemment passer par un couple de points associés de la courbe d'intersection de T^ avec le plan M; or les droites qui joignent ces points associés enveloppent une conique à laquelle on ne peut mener que deux tangentes par le point A. Le plan M ne contient donc que deux droites satisfaisant à la condition donnée; le lieu cherché est donc un cône du second degré.

12. Les surfaces réglées T^ et S^,' ont quatre génératrices communes. En effet, les génératrices rectilignes de Sp' se partagent,

PROBLÈME RELATIF AUX COURBES GAUCHES DU QUATRIÈME ORDRE. l53

e on sait, en deux systèmes. En désignant par X et Y les 5 où Tune quelconque de ces droites s'appuie sur K, l'on a, les génératrices de Tun des systèmes, la relation

lirai que les génératrices qui donnent lieu à cette relation sont premier système. Les génératrices du second système donnent a à la relation

Cherchons combien de génératrices de S;,* du premier système peuvent appartenir à la surface T^. Soit XY l'une quelconque d'entre elles; on devra avoir à la fois les deux. relations

d'où l'on déduit