X -h Y 25 ^ -+- *7 et

relation qui fournit, pour X, les quatre valeurs suivantes :

les valeurs correspondantes de Y sont les quatre suivantes :

valeurs qui sont, deux à deux, égales à celles de X, comme on devait le prévoir.

Il résulte de là que Tp et S^' ont en commun deux génératrices du premier système, savoir :

XY' et X-'Y^ On a

X'-hX-^^^;

l64 OéOMÉTRIE.

donc les deux génératrices X'Y' el X'"Y'" sont associées relalîvemenl à la surface S^^.

Ce que j'ai dit des génératrices du premier système s'applique également aux génératrices du second système.

D'où la conclusion suivante :

Les surfaces ï^ et S^- ont quatre génératrices communes; deux d'entre elles sont d^un même système et sont associées relativement à la surface S^; les deux autres appartiennent à l'autre système de génératrices et sont également associées relativement à la même surface.

Il est clair que tout ce qui précède s'applique également à la surface S^. Les quatre génératrices qu'elle a en commun avec la surface T^ sont deux à deux associées par rapport à Sp'.

13. Considérons maintenant un point quelconque M de la surface Sy; les droites qui, passant par ce point, rencontrent à la fois deux génératrices de T^ associées par rapport à Sp, forment, comme je l'ai montré, un cône du second degré.

Ce cône passe par les génératrices (M') et (M'') de la surface Sp' qui se croisent au point M. En effet, il y a sur cette surface deux génératrices de même système que (M'), qui sont en même temps deux génératrice? de Ty, associées par rapport à S^; ces deux droites sont rencontrées par (M'), qui se trouve ainsi sur le cône dont je viens de parler. On démontrerait de même que (M'^ est située sur ce cône.

Remarquons, maintenant, que ce cône, ayant en commun avec S;,' deux génératrices, le coupe, indépendamment de ces deux droites, suivant une section plane. D'où la conclusion suivante :

Si, par un point quelconque de la surface Sp», on mène les différentes droites qui rencontrent à la fois deux génératrices de T^ associées par rapport à S^^, ces droites forment un cône qui coupe Sp' suivant une conique.

14. Cette proposition peut encore être énoncée de la façon suivante :

Étant donnée la surface S;,', passant par la biquadra-

PROBLÈME RELATIF AUX COURBES GAUCHES DU QUATRIEME ORDRE. l55

tique K, appelons, pour un instant, points conjugués de cette courbe les deux points où une génératrice quelconque de Tp rencontre la sur/ace; cela posé, si Con prend un point M quelconque de Sp' et si, par ce point et chacun des couples dé points conjugués de K, on fait passer une conique située sur Sp', le lieu du point de la conique conjuguée harmoniquement de M, par rapport au couple de points conjugués qu'elle contient, est une conique (*).

lo. Supposons que le point M soit situe sur la courbe K, la conique dont je viens de parler passera également par ce point.

En effet, désignons par M' un point infiniment voisin de M et situé sur la courbe K, par M'' le point conjugué de M'. Si, parles trois points M, M', RF, on fait passer une conique située sur la surface S;,s le point de cette conique harmoniquement conjugué de M, relativement au couple de points M', AF, est infiniment voisin du point M.

La conique passe donc par ce point, et Ton pourrait même déduire de la démonstration précédente que son plan touche la courbe K; mais il est facile de déterminer d'une façon plus précise la position de ce plan.

Examinons de plus près quel est le lieu des droites passant par M et rencontrant à la fois deux génératrices de Tp associées par rapport à S^.

Par le point M passe une génératrice de T^ ; soient g cette génératrice et g' son associée. Toute droite passant par M et s'appuyant sur g' rencontre les deux génératrices associées g ^i g^] le plan qui contient le point M et g* fait donc partie du lieu cherché. On peut remarquer d'ailleurs que, les génératrices g cl g' étant polaires réciproques relativement à la surface S;,, ce plan est précisément le plan tangent à cette dernière surface.

Ce plan faisant partie du lieu qui est en général un cône du

( * ) Celte propriété est caractéristique de la surface S^'. Lorsque celte surface est une sphère, la courbe K jouit alors de propriétés particulières qui présentent quelque intérêt.

Voir dans le Bulletin de la Société philomathique (mars 1868) ma Note sur les Cassinienoes planes et sphériques.

l56 GÉOMÉTRIE.

second degré, le lieu doit se composer en outre, dans ce cas, d'on second plan.

Il est facile de voir que ce second plan est le plan tangent mené par M tangentiellement à la surface Sp'. Considérons en effet une des génératrices de cette surface qui passe par M, par exemple celle du premier système (M|); comme je l'ai montré plus haul, la surface S^' contient deux génératrices du second système qui sont en même temps des génératrices deTp associées par rapport à S^'» ces deux droites sont rencontrées par (M|); le même raisonnement s^applique évidemment à la deuxième génératrice de S^'q<i^ passe par le point M. Cela posé, le plan cherché ne peut être que le plan de ces deux génératrices, ou, en d'autres termes, lepla^ tangent en M à la surface Sp'.

D'où la conclusion suivante :

Siy par un point quelconque M de la courbe K, on mène ks diJDèrentes droites qui rencontrent à la fois deux génératrices de Tp associées par rapport à la surface S^,, ces droites sont situées dans le plan mené par le point M tangentiellement à la surface Sp.

De même :

Si, par un point quelconque M de la courbe K, on mène les différentes droites qui rencontrent à la fois deux génératrices de Tp associées par rapport à la surface Sp», ces droites sont situées dans le plan mené par le point M tangentiellement à la surface S p.

Propriété que l'on peut encore énoncer comme il suit :

Etant mené, par un point quelconque M de la courbe K, le plan tangent à la surface Sp, toute droite de ce plan qui, pensant par ce point, rencontre une génératrice de Tp, rencontre aussi la génératrice de cette surface qui lui est associée relatire ment ti Sp*.

16. Considérons maintenant la surface Sp et deux génératrices quelconques, h et A', de Tp associées par rapport à la surface Sp', en sorte que h et h' soient des droites polaires réciproques relativement à cette dernière surface.