PROBLÈME RELATIF AUX COURBES GAUCHES DU QUATRIÈME ORDRE

Je dis que si une droite mobile D est assujettie à rencontrer constamment les deux droites h et h' et à toucher la surface Sp^ le lieu de son point de contact est la courbe K.

En eflet, étant pris un point quelconque i\ sur la droite A, il résulte, de la définition même du mouvement de D, que par ce point passent deux droites satisfaisant aux conditions données; à ces deux droites correspondent d'ailleurs deux points de contact V et T^*'.

Imaginons le cône circonscrit à S;^ et ayant pour sommet le point 7^; la courbe de contact de ce cône, dont le sommet est sur la droite hy passe d'abord par deux points fixes qui sont les points où Sp est coupée par la polaire de h relativement à cette surface. Ces deux points fixes sont sur la courbe K; car celte polaire est la génératrice de T^ associée de h par rapport à S^, et l'on sait que cette génératrice s'appuie sur deux points de K.

Abstraction faite de ces deux points fixes, la conique de contact rencontre K en deux points variables; en l'un de ces points a menons le plan tangent; ce plan coupe la droite h au point t^; d'ailleurs la droite a7), étant située dans le plan mené par a tangentiellement à la surface S^ et rencontrant A, doit rencontrer h'\ le point a se confond donc avec l'un des deux points tj' et r" .

Le lieu de ces derniers points est donc la courbe K.

D'où la proposition suivante :

Étant données la surface S^ et deux génératrices quelconques de Tp associées relativement à la surface S^', si une droite mobile est assujettie à rencontrer constamment les deux génératrices et à toucher S^,, le lieu des points de contact est la courbe K.

17. Il résulte de ce qui précède, qu'étant donnée une biquadratique quelconque K, on peut l'engendrer de la façon indiquée par le théorème de M. Chasles^ au moyen d'une quelconque des six surfaces

*^pi ^p''t S^, ^7'î ^rï ^r*

que j'ai précédemment définies.

Ayant pris une de ces surfaces, l'on peut encore choisir d'une

l68 GÉOMÉTRIE.

infinité de façons le couple de droites fixes qui, avec la sarface, déterminent le mode de génération de la courbe.

18. Les surfaces réglées du quatrième ordre, que j'ai rencontrées dans celte recherche, Tp, T^ et Tr, ne sont autre chose, comme il est facile de le voir, que les surfaces étudiées précédemment par M. de la Gourncrie, sous le nom de quadricmpidales limites (*).

Une telle surface contient deux droites doubles; T^, pa** exemple, a pour droites doubles les deux arêtes OP et QR à^à tétraèdre conjugué formé par les sommets des quatre cônes q^^ passent par la courbe K.

Par chacun des points de Tune de ces arêtes passent deux géoé-ratrices de la surface; si Ton désigne respectivement par «cl X lies points où une quelconque de ces deux génératrices s appuie sur OP et sur QR, on voit qu'à chaque position du point x cor-' respondent deux positions du point y^ et réciproquement. Les points JC et^ tracent donc, sur les droites doubles OP et OQ, ce qu'on peut appeler des divisions homo graphiques du second ordre; mais ici ces divisions sont d^ine espèce particulière et jouissent d\ine propriété remarquable entièrement caractéristique.

L*on a en eflfet celle proposition :

Etant donné un point x' situé sur la droite OP, si y et y désignent les deux points qui lui correspondent sur la droite OQ, les points y et y ont pour correspondants le point x' et un autre et même point x"; de telle sorte que le point j" a aussi pour correspondants les points y et y.

M. Chasles, qui, le premier, a signalé ce mode de correspondance remarquable, a montré que, si elle avait lieu pour une position particulière du point x\ elle avait lieu nécessairement pour toute antre position de ce point.

Appelons % et ,3 les points où la droite OP coupe une quelconque des surfaces du second ordre V que l'on peut mener par K, el Y et 0 les points où QR rencontre celle même surface. Les droites OP et QR étant polaires réciproques par rapport à cette

(») Voir Becherches sur les sur/aces tétmédrales symétriques; 1867, P* ^«

PROBLÈME RELATIF AUX COURBES OAUCIIES DU QUATRIÈME ORDRE. iSg

sarfâce, y et S sont précisément les points de contact des plans menés par OP tangenliellement à V.

Les droites ay, aS, Py et p5 sont des génératrices de cette surface, et chacune déciles, rencontrant par suite en deux points la courbe K, en même temps qu'elle s'appuie sur les deux droites OP et QR, est une génératrice de la surface réglée T^,; il est clair maintenant qu'à chacun des points a et ^ de la droite OP correspondent les deux points y et 5 de la droite OQ.

La correspondance qui existe entre les points de division sur ces deux droites est donc de l'espèce particulière dont j'ai parlé plus haut.

La réciproque est évidente, et l'on peut énoncer la proposition suivante :

Si, sur deux droites fixes, on a deux divisions qui se correspondent de telle façon qu^à un point quelconque d'une des droites correspondent deux points de la seconde; si, en outre, 5 mode de correspondance est tel qu'un même couple de points de l'une des droites corresponde à dtsux mêmes points de Vautre, les droites joignant les couples de points correspondants forment une surface réglée du quatrième ordre de ^espèce de celles que M. de la Gournerie a désignées sous le nom de quadricuspidales limites.

19. Ces dernières surfaces sont une variété de surfaces réglées du huitième ordre, que le même géomètre a étudiées sous le nom de quadricuspidales.

Elles peuvent se définir très simplement de la manière suivante : Considérons une biquadratique Iv et une surface réglée quelconque dont chacune des génératrices s'appuie eu deux points sur la courbe. Soient X et Y les points où l'une de ces génératrices rencontre K, et X', Y' les points analogues pour la génératrice infiniment voisine : on peut se demander comment la surface doit être particularisée, afin que les droites XY' et X'Y soient des génératrices infiniment voisines d'une même surface du second ordre passant par K.

Faisons pour un instant

iGo OLOMÉTniE.

|)ogr que XY' et X'Y soient les génératrices d'une même sarface du second ordre, on doit avoir

Xh-Y's Yh-X', ou bien