X -T- Y H- c/V E£. Y -f- \ -f- éfX, ou enfin
d\ s d\ el, en intégrant,
a désignant une quantité constante.
La surface engendrée par une droite XY, s'appuyant sur I^ courbe K en deux points X et Y satisfaisant à la relation préc^" dente, est lu quadricuspidale; je dirai, pour abréger, que Kesl J ^ base de la quadricuspidale.
Une propriété très simple et entièrement caractéristique decelt^ surface résulte immédinlenient de la relation précédente.
Soient XY et X'Y' deux génératrices quelconques d^une qua — " dricus])idaley on a
Y-\=^a et Y— X'=a,
relations d^oii Ton déduit
d\)ii la proposition suivante :
Étant données deux génératrices quelconques XY et X'Y' d^unc quadricuspidale ayant pour base une biquadratique K, les deux droites XY' et YX' sont deux génératrices d'un même système d'une sur/ace du second ordre.
20. Soient deux génératrices infiniment voisines XY et X'Y' d'une quadricuspidale G ayant pour base K; d'après ce qui précède, XY' et Y'X sont les génératrices d*une même surface de second ordre passant par K.
Par XY menons un plan quelconque L et cherchons le point où ce plan est tangent à la surface G. A cet effet, projetons les deux génératrices sur un plan perpendiculaire au plan L; soient i-espec-
■ PROBLÈME RELATIF AUX COURBES OAUCRES DU QUATRIKME ORDRE. ! iHl
I (ivement J, Tj, 5' et tj' les projections sur ce plan des points X, Y^ F X' et T'; T le point d'inlersection des deux droites ^r\ et ;'r/, (u celui où se coupent les droites Çr/ et 7)Ç'. Les points t et (o ont cvidcnimeut pour limites les poinls de contact du point L avec la surface quadricuspidale et avec la surface du second ordre passant par K et par la droite XY ; d'ailleurs on voit immëdiatemenl, en considérant la figure formée sur la projection, que ces points limites divisent harmoniquemcnt le segment Ç/j.
On en conclut la proposition suivante d'un fréquent usage dans les applications :
Eta.nl données une quadricuspidale ayant pour base une courbeK.el une génératrice XY de cette surface, si l'on considère en même temps la sur/ace du second ordre qui passe p^r K et par XY, tout plan mené par cette dernière droite louche la quadricuspidale et ta surjace du second ordre en deujc points qui partagent harmoniquemcnt le segment XY.
Soient L le plan mené par XY et Y, Z les deux points où ce plan coupe la courbe K; YZ est la deuxième génératrice de la surface au second ordre située dans le plan; le plan de rencontre T des aroiies YZ et XY est le point où se touchent ce plan et cette sur- ''^ce ; son conjugué harmonique, relativement au segment XY, €st donc, d'après ce qui précède, le point où le plan L touche la <]uaclricuspidale.
^1 . Une quadricuspidale a quatre lignes doubles. En eOet^ soit ^Y une génératrice de cette surface; prenons un quelconque "^s sommets des cônes qui passent par la base K, le point O par exeiriniple^ Joignons X et Y au point O, et soient X', Y' les poinls 0" l^s droites ainsi obtenues rencontrent K; on a les trois con- S"*" ^ nées suivantes :
Y — X-a, X-hX'^o, Y-f-Y'~o,
<1'<>^ Ion déduit
^ droite Y'X' est donc une deuxième génératrice de la surface^
appelons Û le point d'intersection des droites YX et Y'X'. On voit
<\**^ û est un point double de la surface; ce point, d'après la façon
