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If>a GEOMETRIE.

même dont on Ta construit, est d^ailleurs évidemment dans le plan des trois sommets PQR. Lors donc que la génératrice XY se déplacera, il engendrera une ligne double de la surface située dans ce plan.

En considérant de même les autres sommets du tétraèdre OPQU, on verrait que la surface possède en tout quatre lignes doubles situées dans chacune des faces de ce télraèdre.

La surface ne peut d*aillcurs avoir d'autre ligne double (sauf la base K); car, comme il est facile de le voir par un calcul très simple, X'Y' et les trois droiles analogues correspondant aux sommets P, Q et R sont les seules génératrices de la surface qui rencontrent une génératrice donnée XY, en outre de celles qui passent par les points X et Y eux-mêmes.

Revenons maintenant à la nature de ces lignes doubles.

Soit (Û) la courbe décrite par le point Q dans le plan PQR. Appelons w le point de rencontre des droites XY' et YX'; joignons Oto, et désignons par y et •/ les points où cette droite rencontre XY et X'Y'.

D'après ce que j'ai dit dans le paragraphe précédent, le plan OXY touche la quaJricuspidale aux points y et y'; ce point est donc doublement tangent à la surface, l'arête de contact étant la droite Oo). Le cône, enveloppé par ces plans tangents doubles, qui passent tous par O, est un cône du second degré; on le démontre facilement en faisant voir que, par toute droite telle que OX, on ne peut mener que deux plans tangents à ce cône.

Le point w est la trace sur le plan PQR de l'arête Ow de ce cône; ce point se déplace donc sur une conique (to).

Remarquons maintenant que la droite coû est la tangente à cette conique; en considérant la figure ('), on voit immédiatement que le segment (oQ est partagé harmoniquement par le cône qui a pour sommet O et pour base K.

D'où l'on conclut la proposition suivante :

Soient (to) la trace sur le plan PQR du cône doublement circonscrit à la surface ayant pour sommet le point O, et [O) la trace sur le même plan du cône qui, avant le même sommet,

(') Le lecteur est prié de suppléer à la figure.

PROBLÈME RELATIF AUX COURBES GAUCHES DU QUATRIÈME ORDRE. l63

passe par la courbe K : la ligne double de la quadricuspidale, située dans le plan PQR, peut s'obtenir en prenant, sur chacune des tangentes menées à la courbe (lo), le point conjugué harmonique du point de contact par rapport au segment intercepté sur la tangente par la courbe (O).

ffî. Les surfaces quadricuspidales se présentent dans un grand nombre de questions relatives aux biquadratiques gauches ou aux courbes du troisième ordre.

Elles fournissent, par exemple, une solution très simple de ce problème que l'on rencontre dans Tappiication des fonctions elliptiques aux courbes du troisième ordre :

Etant donnée une courbe du troisième ordre C, trouver des courbes telles que la tangente menée en un quelconque de leurs points soit partagée harmoniquement par le point de contact et par les trois points oii elle coupe C.

Ces courbes sont algébriques; on peut facilement les décrire "^'ïs le plan lui-même, mais la construction suivante se prèle peut-être mieux à l'étude de leurs propriétés.

Prenons deux points quelconques de C et joignons-les à un po'nt 0 de Tespace; par les deux droites ainsi obtenues, faisons passer une surface du second ordre A.

Le cône, avant pour sommet O et passant par C, coupe A suivant une biquadratique K.

Imaginons une quelconque des surfaces quadricuspidales qui <ïni pour base K, le cône circonscrit à cette surface et ajant pour commet O coupera le plan de C suivant une courbe jouissant de la propriété indiquée.

En considérant les diverses quadricuspidales qui ont pour base K, OQ obtiendrait la solution complète du problème.

23. Toutes les autres propriétés de la quadricuspidale se déduiraient également avec facilité de la définition très simple que j'en ai donnée plus haut.

Je ne m'étendrai pas davantage surce sujet, me contentant de renvoyer le lecteur à TOuvrage déjà mentionné de M. delà Gournerie.