SUR UNE

PROPRIÉTÉ DE L'HYPERBOLOiDE DE RÉVOIXTIOK.

liuUetin des Sciences mathématiques et astronomiques i 1871.

t. M. Bertrand a démontré depuis longtemps que les normales principales d*une ligne à double courbure donnée ne peuvent être les normales principales d'une autre ligne à double courbure, à moins (prit n'existe une relation linéaire entre les deux courbures do la courbe donnée.

Les courbes gauches, tpii jouissent de celle remarquable propriété, se p.résentent d'elles-mêmes quand on étudie la déformation dos surfaces gauches.

C'.onsidérons une surface gauche; il est commode dans un grand nombrt^ de questions de déterminer chaque point de la surface par sa position sur la génératrice roctiligne qui le contient, cette génératrice étant ello-mome déterminée par le point où elle rencontre la lij^no do striction et les angles qu'elle fait avec celte ligne.

Los formules pi\>prt*s à ce svsléme de coordonnées s'établissent immoiliatomont. Je transcrirai seulement les suivantes.

Vppolons :

7 la longueur do Taro de la ligne de striction compris entre une origine arbitraire ti\o et le point /?i, où la génératrice coupe colto li::no:

p lo ra^on do courbure do U ligue do striction au point m;

T sou r*i^on do torsion ou ce point ;

tv» i*.iinglo que fait U gouoraltice considérée avec la tangente à la ligiio de strict ion:

( r^jiii^le que lait la uoniulo principale au («oint m à la ligne de

SUR UNE PROPRIÉTÉ DE L'HYPERDOLOIDE DE RÉVOLUTION. l65

Striction avec la droite menée perpendiculairement à la génératrice dans le plan tangent à la surface en ce point; dK l'angle infiniment petit de deux génératrices consécutives. Posons, en outre, pour abréger,

dE siati)

On a, entre ces diverses quantités, les deux relations suivantes : (I)

diù dfj

sinO

cosO langu)

2. Supposons maintenant que Ton déforme la surface de façon que les génératrices rectilignes demeurent des droites; la surface donnée se transforme en une autre surface gauche dont la ligne de striction est la transformée de la ligne de striction de la surface primitive.

Les quantités o-, co et k conservent la même valeur pendant la déformation; les quantités variables 0, x et p sont liées entre elles par les équations (i) et (2).

On peut se donner, par exemple, arbitrairement la valeur de 0 en fonction de a; on déduira alors des relations précédentes les valeurs de p et t; la recherche de la nouvelle ligne de striction se ramènera à Tintégfation d^équations aux dilférences ordinaires.

Si Ton élimine 0 entre les équations (1) et (2), on obtient une équation difTérentielle entre p, t et o- à laquelle doit satisfaire la ligne de striction, quelle que soit la déformation de la surface.

3. Supposons, en particulier, que la surface donnée soit un hyperboloïde de révolution; dans ce cas cj et k sont des quantités constantes dont la valeur détermine complètement la surface.

L'équation (1) donne alors

sinO = o.

P Ecartons le cas où l'on aurait p = 00 , et où, par conséquent, la

l66 GÉOMÉTRIE.

ligne de striction serait une ligne droite; on déduit de là

sinO = o;

Téquation (i) devient alors

k T tangb) p

Les deux courbures de la ligne de slriclion sont ainsi liées par une relation linéaire, et Ton en déduit la proposition suivante :

De quelque façon que ron déforme un hyperboloïde de révolution en conservant la rectitude des génératrices, la courbe en laquelle se transforme le cercle de gorge de V hyperboloïde jouit de la propriété qu^en chacun de ses points il y existe une relation linéaire entre ses deux courbures,

A, Réciproquement, étant donnée une courbe jouissant de cette propriété, on peat mettre la relation qui existe entre les deux courbures sous la forme (3); les constantes w et k déterminent un hy|>erboloïde; et Ton peut toujours déformer cet hvperboloïde de façon que son cercle de gorge se transforme en la courbe donnée.

La recherche des surfaces réj»lécs développables sur un hyperboloïde de révolution est donc ramenée à la solution du problème suivant :

Trouver toutes les courbes gauches qui jouissent de la propriété signalée par M. Bertrand,

Bulletin de la Société philomathique, 1871.

1. La cyclide a été étudiée d'abord par M. Dtipin, qui en a découvert les principales propriétés; depuis elle a été le sujet des travaux d'un grand nombre de géomètres (*). La cyclide est un cas particulier des surfaces anallugmaticjues du quatrième ordre, et elle jouit de toutes leurs propriétés. Elle peut être définie ainsi qu'il suil: Étant donnée une conique K et un cercle C doublemenl tangent à cette conique, la cvclide est Tenveloppe des sphères dont les centres sont situés sur la conique K et qui coupent orthogonaicment une sphère quelcon(|uc passant par C.

J'appellerai axe de la c^'clide la droite Y menée par le centre de C, perpendiculairement au plan de C et de K.

On sait que la cjclide peut encore être engendrée d*une fa<;on analogue, au moven d'une autre coni(|uc R\ ayant les mêmes fovers que la première et située dans i\ï\ plan perpendiculaire à son plan, et d'un cercle C doublement tangent à K'; la corde des contacts est d'ailleurs l'axe V dont j'ai parlé ci-dessus. La droite V* menée par le centre du cercle (7, perpendiculairement à son plan, se confond avec la corde de contact de Cet de K; c'est le second axe de la surface.

2. Soit une sphère S arbitrairement tracée dans l'espace et M son centre; il est facile d'avoir son intersection avec la cyclide.

(*) Voir notamment dans les Nouvelles Annales de Mathématiques (iHfio), un Mémoire de M. Mannheim sur Tapplication de la transformation par rayons. vecteurs réciproques à l'élude de la cyclide.

l68 OéOMÉTRIB.

Eq effet, par C faisons passer une sphère coupant orlhogonalement S; son centre O sera par conséquent sur l'axe F. Considérons le cône ayant pour sommet le point M et pour base K, et menons par le poini O le cône supplémentaire de celui-ci (c'est-à-dire le cône dont les génératrices sont perpendiculaires aux plans tangents menés au premier cône). Ce cône coupera la sphère S suivant Tintersection cherchée; remarquons maintenant que, si le centre de la sphère reste fixe, pendant que son rajon varie d^une façon arbitraire, ce cône supplémentaire reste identique avec luimême et ne fait que se déplacer dans Tespace; qu'en outre, les considérations que j'ai développées au sujet de la conique K s'appliquent à la conique K'; on déduira de là facilement les conséquences suivantes :

« Étant données une cyclide et une sphère, ces deux surfaces se coupent suivant une courbe du quatrième ordre, suivant laquelle on peut mener quatre cônes, deux des sommets de ces cônes sont respectivement situés sur Taxe T et sur Taxe T\

)) Si, laissant le centre de la sphère fixe, on fait varier son rayon, les deux cônes, dont les sommets sont situés sur les axes, se déplacent parallèlement à eux-mêmes, en conservant la même forme, leurs sommels décrivant les deux axes de la surface.

» Si l'on coupe la surface par une sphère ayant pour centre un point d'une des coniques K et K', on peut par la courbe d'intersection faire passer un cône de révolution dont le sommet est sur l'autre conique.

» En particulier, si l'on considère une des sections circulaires de la surface, toule sphère qui la contient coupe la surface suivant un autre cercle; les cônes, qui passent par ces deux cercles ont leurs sommets sur les deux axes de la surface, à moins que les plans des cercles ne passent par l'une de ces droites (ce qui a lieu pour les cercles de courbure).

» Si Ton coupe la cyclide par un plan, la section est une anallagmatique qui a quatre pôles principaux de transformation; ces pôle^ sont les centres des cercles qui contiennent les seize foyers de la courbe; de ces pôles, l'un est situé sur l'axe F et l'autre sur l'axe F'. Les foyers singuliers de cette courbe sont les foyers de la projection sur le plan sécant de la conique K ou de la conique K'. »

^Ê 3. La cjclide peut être considérée comme une anallagmaliqne, U pour laquelle une des focales se réduit à un système de quatre S droites isotropes (nécessairement situées sur une même sphère). W Soient, sur une sphère réelle (ou du moins dont Péquation est ■ réelle), deux points M et M' imaginairemcut conjugués; par le F point M passent deux génératrices G et H de la surface (ce sont r des droites isotropes), par le point M' passent deux génératrices (y et H', imaginaircment conjuguées des premières.

Xoutes les surfaces anallagmaliques, ayant pour focale Tenseuible des quatre droites G, H, G' et ir, sont des cyclides bomofocales.

A cette focale se rattache un groupe de sections circulaires (*) qui se subdivise lui-même en un groupe (G) représentant les divers points des droites G et G' et en un groupe (H) représentant les points des droites H et H'.

t>*iin théorème général donné dans ma Note sur l'emploi des ^^^CBginaires dans la géométrie de V espace^ on peut déduire la P**oposition suivante qui s'accorde avec ce que j'ai dit dans le paragraphe précédent :

£lant pris un cercle quelconque du groupe (G) et un ^^^cle quelconque du groupe (H), les deux cônes y qui passent paw* ces deux cercles, ont respectivement leurs sommets sur ^€s 4ixes r et r.

Les cercles des groupes (G) et (H) sont ceux suivant lesquels ** Surface est coupée par ses plans bilangents.

On peut remarquer que les axes de la surface sont la droite MM' ^^ la polaire de cette droite relativement à la sphère qui con- ^^^ntles droites isotropes qui constituent la focale.

4. Ce qui précède conduit à un nouveau mode d'étudier la cyclide. Mais avant d'aborder ce sujet, je crois devoir rappeler quelques-uns des résultats obtenus dans la Note déjà citée sur

(•) Voir dans l* Institut, et dans \q Bulletin de la S tciëté philomathique, «Tril 1870, ma Note : Sur l'emploi des imaginaires dans la géométrie de l'espace.

l-o UKOMKTIUK.

remploi dvs imaginaires dans la géométrie de Pespace, et développer quelques points de détail qui s\ rapportent.

Un cercle rrel, dans resf)ace, détermine deux points imaginaires; ce sont les sommets des deux cônes isotropes qui passent par ce cercle; en fixant le sens dans lequel on suppose ce cercle décrit, il représentera d^ine façon précise un de ces deux points.

Un point imaginaire, dans le plan, est déterminé par im couple de points réels; Tordre dans lequel ces points doivent être pris est é«j;alemont <iélerminé.

Soit (.] nii cerch» (pielconque de l'espace, que nous supposons décrit dans un certain sens, et qui représente un point imaginaire 9 a; projetons c(î point sur un plan réel et soit a sa projection. L^ point a >era représenté par un couple de points que Ton peu*' obtenir de la façon suivante :

« Supposons un spectateur placé au-dessus du plan de pro-' jection et à une distance très grande d(; ce plan, conservons seulement iln ceicle C la moitié dont le spectateur voit la partie convexe. Ce demi-cercle se projette sur le plan suivant une demi-ellipse; le sens dans lequel est décrite cette demi-ellipse est d*aill<Mirs déterminé [)ar le sens dans lequel est décrit le demicercle dont elle est la projection.

» Cela posé, si Ton d^'^igne par A et A' les foyers de cette ellipse, A étant le foyer Ic^ plus rapproché cl<; roriginc de la demi-ellipse que Ton a conservée et A' le foyer le [>lus rapproché de son extrémité, le point a est représenté par le segment (A, A'). »

5. On peut se proposer d'étudier la façon dont sont distribués dans Tespace les points d'une droite imaginaire donnée, ou plutôt comment sont distribués les cercles représentatifs de ces points. Trois cercles pris arbitrairement dans Tespace (le sens dans lequel ils sont déciits est évidenunent supposé donné) ne peuvent évidemment pas être pris arbitrairement.

Leurs projections sur un plan arbitraire devant être en ligne droite, de ce que j'ai dit dans le paragraphe précédent résultent immédiatement les conséquences suivantes :

« Soient trois cercles (de sens bien déterminé) représentant trois points en ligne droite; si Ton projette ces cercles sur un plan quelconque, et si l'on désigne respectivement par a et a', b

cl i', c Cl c' les foyers des coniques suivant lesquelles se projeltent les cercles (ces foyers étant pris dans un ordre convenable), les deux triangles abc et a'b'd sont semblables et inversement placés. «Réciproquement, si trois cercles jouissent de la propriété précédente par rapport à deux plans de projection, ils représentent trois points en ligne droite, et ils en jouissent par rapport à tout autre plan de projection . »

6. Pour étudier la distribution dans l'espace des points d'une droite imaginaire, appelons g celte droite, et g' la droite imaginairemenl conjuguée. Ces deux droites ne se rencontreront pas eo général.

La droite sur laquelle se mesure leur plus courte distance est réelle.

Pour classer les points de la droite g^ menons dans l'espace une droite arbitraire D; cette droite et les droites g et g' sont les génératrices du premier système d'un hyperboloïde réel R.

Considérons l'ensemble des génératrices du second système de cet hyperboloïde; chacune d'elles rencontre^ en un point imaginaire représenté par un cercle réel et l'ensemble de ces cercles forme une surface S.

E» donnant à la droite D toutes les positions possibles, on obtiendra une infinité de surfaces S, Tenscmble des génératrices circulaires de ces surfaces représentera les points de la droite g.

'• Je n'étudierai ici que le cas particulier où la droite g est une droite isotrope (il en est de même par conséquent de g').

Dans ce cas, la surface S est une cyclide : on peut, en cfiTet, par ^ et g' faire passer une sphère qui a, en outre, en commun ^^'Cc R, un autre coupliî de droites isotropes conjuguées h et h'.

Les cercles représentatifs des points de «^donnent un système (G) de sections circulaires de la cyclide; les cercles représentatifs <les points de h donnent un autre système (H) de sections circulaires de cette surface.

J'appellerai droites focales de la cyclide les droites réelles sur lesquelles se mesurent les plus courtes distances des droites g et ^, h et A'.