Toutes les cyclides qui correspondent à la droite g ont

une droite focale commune ; leurs focales ont aussi en commun les deux droites g gI g' ] je dirai que de telles surfaces sont des cjclides scmi-homofocales.

Deux cyclidcs semi-homofocales se coupent ( indépendamment de Tombilicale et des droites g et g') suivant deux cercles; car, soient D et A les deux droites qui les déterminent, les hyperboloïdes correspondants ont en commun deux génératrices du second système, qui déterminent deux cercles communs aux surfaces.

9. Considérons, en général, une courbe sphérique K réelle (ou plutôt résultant de Tintersection d'une sphère et d'une surface algébricjue dont les équations sont réelles), et une surface réglée réelle R, Iclle que chacune de ses génératrices rencontre K en deux points différents.

A chaque génératrice rectiligne de R correspondent deux points a et a' de R, que Ton peut représenter par le cercle (a, a') qui résulte de Tintersection des deux cônes isotropes ayant respectivement pour sommets a et a' ( * ). Le lieu des cercles correspondant ainsi aux différentes génératrices de R est une surface S que Ton peut dire dérivée de la courbe K.

Soient S et S' deux surfaces dérivées de K, au moyen des surfaces réglées R et R'; Finlerseclion de S et de S' se composera d'abord d'un certain nombre de cercles ; car la surface R et R' ayant généralement un certain nombre de génératrices communes, chacune des génératrices communes fournit un cercle commun à S ^l S'. Outre ces cercles, la courbe d'intersection complète comprendra encore généralement une autre courbe V.

Il est facile de voir que, suivant chacun des cercles dont je viens de parler, les deux surfaces se coupent suivant un angle constant.

En effet, soit T une génératrice commune à R et R' et M un point quelconque du cercle correspondant, qui est commun à S et à S'. Le cône isotrope ayant pour sommet le point M coupe la

(*) Voir dans Vlnstitul et dans le Bulletin de la Société philomathique, avril 1870, ma Note Sur l'emploi des imaginaires en géométrie.

Sphère, sur laquelle csl s'iluéc K, suivant un plan passant par T; soient ^ et ^' les points où ce plan louche respectivement les surfaces R et R'; d'après une propriété très simple que j'ai communiquée déjà depuis longtemps à la Société, M^ et M^' sont les normales menées par le point M à S et à S'.

Quand deux surfaces réglées ont une génératrice commune,

tout plan passant par cette droite touche les deux surfaces en

deux points qui, loriîque le plan se déplace, détermincul sur la

droite une division homographique. Dans le cas actuel, on voit

immédiatement que les deux points doubles de cette division

sont les points a et a' où T s'appuie sur R; d'après une proposi-

tion élémentaire bien connue, on en conclut «[ue le rapport an-

narmonique des quatre points a, a'; ^ et P' est constant.

Menons maintenant les droites Ma et Ma',lVIp et M^'; le rapport anharmonique du faisceau est aussi constant, et, comme les droites Ma et Ma' sont isotropes, il en résulte que l'angle p W^' est constant. .

10. De la proposition précédente, relative aux surfaces dérivées ^ urie même courbe sphérique, découlent quelques conséquences *^**er«ïes d'intérêt.

Supposons que K soit une biquadratique spliérique, que R ^oit, une surface de second degré et R' une quadricuspidale ayant po tir base K»

l^a surface dérivée S est alors une anallagmatique ayant K pour

*ooale; S' la coupe suivant quatre cercles correspondant aux quatre

S^ïïératrices communes à R et R'. On voit immédiatement que le

"^g de chacun de ces cercles les deux surfaces se coupent orlho-

gonalement.

En eflel, dans ma Note Sur un problème de géométrie relatif ^^ux courbes gauches du quatrième ordre insérée dans le Journal de Liouville (1870), j'ai démontré le théorème suivant:

Étant donnée une quadricuspidale ayant pour base la courbe K et une génératrice aa' de cette surface (x et a' désignant les points où la génératrice s'appuie sur K), si Con considère en même temps la surface du second ordre qui passe par K et par olol', tout plan mené par cette dernière droite

■ 74 OÉOMl%TIUe.

touche la quadricuspidale et la surface du second ordre en deux points f/ui partagent harmoniquement le segment ata .

On v.\\ (Irduil iininédiatemenl que Tangle aa' esl droit. L'înlerseclioii <le S et d<; S' est complétée par une des lignes de courbure dr S.

On a donc la proposition suivante :

h tant donnée une anallagmatique ayant pour focale la hiquadratique sphérique R, toute surface dérivée de K, au moyen d^une quadricuspidale ayant pour base K, coupe l'anal' lagmatique suisrant une des lignes de courbure de cette sur^ face et s uii^ant quatre cercles; le long de ces quatre cercles^ les deux surfaces se coupent orthogonalement.

M. William Uoherts avait déjà donné ce théorème pour les surfaces du second ordre; la surface drrivéede la quadricuspidale esl, diins ce cas particulier, le lieu des génératrices circulaires d'un système de surfaces homofocales dont les plans passent par leur centre commun.

11. (Considérons dans Tespace une droite isotrope g et la droite isotrope g' y qui lui est imaginairement conjuguée. Ces deux droites sont situées sur une même splirre S qu'elles déterminent complrtcment.

Soient S et S' deu\ surfaces quelconques dérivée^ de g'j elles jouiront des propriétés établies précédemment; il est facile de voir en outre que leur intersection complète se compose des cercles dont j'ai parlé. On peiit donc énoncer la proposition suivante :

Soient deux surfaces quelconques déri\'êes dune droite isO'" trope, ces surfaces se coupent suii'ant un certain nombre de cercles et le long de chacun de ces cercles elles se coupent stii- K-ant un ans^le constant,

12. Soit D la droite réelle sur la(piclle se mesure la plus courte distance des droites g el g' ; si Ton donne à la figure un mouvement de rotation quelconque autour de D, g et g^ restent immobiles.

On en conclut que, si S désigne une surface dérivée de g^ et

RECHERCHES GEOMETRIQUES SUR LA CYCLIDE. 17»

si on la fait tournerautour de D de façon à lui faire occuper la position So> So est une surface dérivée de g. D'où la proposition suivante :

Etant donnée une surface quelconque S dérivée des droites isotropes conjuguées g et g'^ si on la fait tourner^ d'un angle quelconque, autour de la droite réelle D sur laquelle se mesure la plus courte distance de g et g' , dans la nouvelle position la surface coupera la surface primitive suivant un certain nombre de cercles et le long de chacun de ces cercles les surfaces se couperont suivant un angle constant.

Il est à remarquer que la droite D passe par le centre de la sphère S dont Téquation est réelle, mais qui n*est jamais réelle.

13. Ce qui précède donne une solution (renfermant une fonclion arbitraire) du problème suivant :

Trouver une surface telle que, si on la fait tourner autour d'une droite fixe, la surface dans sa nouvelle position coupe la surface primitive sous un angle constant, quelle que soit la grandeur de la rotation effectuée.

Il est bien clair que la grandeur de Tangle varie avec la grandeur de la rotalion et que la courbe d'intersection peut se composer de plusieurs courbes séparées, l'angle d'intersection variant d'une courbe à l'autre, mais demeurant le même le long de chacune d'elles.

Pour éviter les circonlocutions, lorsqu'une droite jouira par rapport à une surface de la propriété que je viens d'énoncer, je dirai, dans les paragraphes qui suivent, que la droite est un axe de rotation de la surface.

Nous avons obtenu une classe de surfaces ayant un axe de rotation; il est facile d'en trouver une seconde.

En eOet, soient tracés dans un plan w\\ cercle C et une courbe arbitraire A. Chaque tangente à A rencontre C en deux points a et a dont l'ensemble est représenté par le cercle (a, a'); les divers cercles qui correspondent à toutes les tangentes que l'on peut mener à A, forment une surface B. Les cercles dont je viens de parler constituent un des systèmes de lignes de courbure de B.

l'-fi GÉOMÉTRIE.

Il est facile d'obtenir Paiitre; menons, en eflet, par C une sphère arbitraire, la développable circonscrite à cette sphère et à A louchera la sphère suivant une ligne de courbure de B; et en faisant varier le rayon de la sphère, on obliendra toutes les h'gnes de courbure du second système.

Une surface telle que B pourrait être désignée sous le nom de sphérO'Cyclide, vu que l'un de ses systèmes de lignes de courbure se compose de cercles et l'autre de courbes sphériques.

J'appellerai cercle directeur de la surface le cercle C, et axe de cetle surface la droite menée par le centre de ce cercle perpendiculairement à son plan.

La sphéro-cyclide jouit d'une des propriétés de la cyclide que j'ai mentionnées plus haut : si on la coupe par une sphère, on peut toujours faire passer un cône par la courbe d'intersection ; le sommet de ce cône est sur l'axe; si, le centre de la sphère restant fixe, son rayon varie, le cône qui passe par la courbe d'intersection ne varie pas de (orme et se déplace parallèlement à lui-même, son sommet glissant sur l'axe.

14. On voit immédiatement que deux sphéro-cyclides ayant même cercle directeur se coupent suivant un certain nombre do cercles; le long de chacun de ces cercles, elles se coupent suivant le même angle; ce que l'on peut voir par une démonstration directe, ou en remarquant que chacun des cercles est une ligne de courbure pour les deux surfaces.

En particulier, si l'on fait tourner une sphéro-cyclide autour de son axe, la surface obtenue après la rotation sera une sphérocyclide ayant même cercle directeur que la première ; on peut donc dire que :

IJaxe (V une sphéro-cyclide est un axe de rotation de cette surface.

On a ainsi une nouvelle famille de surfaces, dont l'équation renferme une fonction arbitraire, et qui possède un axe de rotation.

15. La cyclide, en particulier, appartient à la fois aux deux familles de surfaces dont je viens déparier.

De ce que j'ai dit plus haut, on déduit immédiatement les conséquences suivantes :

a 1° Deux cyclides semi-homofocales se coupent suivant deux cercles et, le long de chacun de ces cercles, elles se coupent sous un angle constant.

» a** Une cyclide a quatre axes de rotation ; ce sont ses deux axes el ses deux droites focales. »