L. — II. i

Kj) GÉOMÉTRIE.

Démonstration, — Je rappellerai brièvement ce qa'on non poids d^un invariant. Si, dans les formes données, on rempl Tune des variables, X par exemple, parX/, l'invariant relatif nouvelles formes que Ton obtient ainsi est égal à rinvariaDt] milif K multiplié par une certaine puissance de X; rexposant cetlr puissance est le poids de Tinvariant.

C.eci posé, mettant en évidence toutes les variables dans (M|ualions mixtes des courbes, écrivons-les sous la forme suivan

Fs( X, u. Xr — '^T) = o.

Si, dans les polvnomes qui forment les premiers membres de équations, nous remplaçons respectivement x et y par tx et nous obtenons les polvnomes suivants :

Fo (, X. u, X / V — '^iJTK Fit X, a, X/ V — iitx), F«» X. u, X/r — u/j" ».

Lo nouvel invariant 1' déduit de ces formes, comme I Tétait prtMuières* contient / à une puissance dont le degré est celui d eourbe rt*prêsentêe par fêquation

Posons maintenant

X » — J.X = X , X V — -ax = u.', eu etlVotunn: une substitution linéaire dont le déterminant

e>l inde^nrudaut de t.

Ou déduit Je là

tt W* t\>niM^ |>rev\r>leiite5 de\ îenn^nt

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. igS

L'invariant F, relatif à ce système de formes et analogue à F, lui est égal, à un facteur près, qui, étant une puissance de déterminant <o de la substitution, est indépendant de t,

Dansl', t entre évidemment à un degré égal au poids de l'invariant; la proposition est donc démontrée.

Remarque /. — La démonstration précédente suppose que les coefficients des polynômes /o{\ l^)^ f\ (^j jJ"-)} • • • oiit '^i forme la plus générale (compatible avec les relations nécessaires qui existent entre eux). Dans des cas particuliers, le degré de la courbe représentée par Téquation

peut s^ abaisser ; mais alors la droite de Tinfîni fait partie de la courbe.

Remarque II, — Ce que je viens de dire s'applique aux covariants que l'on peut déduire des formes

Les équations que l'on obtient en égalant à zéro les différents coefficients d'un covariant représentent des courbes d'un degré égal ^^ poids de ce covariant.

9- J'ai cru devoir, pour plus de clarté, employer dans ce Mémoire les coordonnées rectiligncs.

Si Ton voulait employer les coordonnées triangulaires symétriques, il suffirait, dans les formules précédentes, de rétablir 1 homogénéité en introduisant une troisième variable z.

Rien n'est à changer, si ce n'est la signification géométrique Iti'on doit attribuer à Téquation mixte de la courbe. Mais il est, J€ crois, inutile d'insister sur ce sujet.