Considérons une courbe de troisième classe K', et soit

U = (a, b, c, d\\^ Ht)'= o ^n équation mixte.

La forme U n'a qu'un invariant; c'est le discrimÎDant L'é-jualion

lus l'avons vu, l'équation en coordonnées cut^sienncs de la courbe K*; eHc est du degré 6, ce nombre éuni le poids du discriminant.

l'our obtenir les points de rebroussement de K», il faut cherct^r les ]ioints du plan pour lesquels l'équation

a trois racines égales.

Considérons le covarinnl

(ne — i=)).' + («</— 6c)Xji-4- (érf— o>)(«';

los conditions nécessaires et suffisantes pour l'égalité des troi^ racines de l'équation (i) sont les suivantes :

('quations de trois courbes du quatrième ordre (n°8, Bem. II).

Les i) points de rebroussement de K' sont donc tes points communs à ces trois courbes.

Il est clair tpi'on peut trouver une infinité de courbes du qoa- Iritine ordre ]>assanl par ces 9 points. Pour avoir leur expression géuérulc. considôrous, en même temps que la courbe K*, nne ciiurlie de seconde classe arbitraire K' et dont l'équation mixte .soii

V =:iA,B.C;X.;ji'=o.

Posons

I ^ .\vA</ — cîi- Buid — 6ci-+-Cl«c — ft«> (»).

1 o>l un invariant des formes U et V, de poids égal à 4- L'équation

■«présente donc une courbe du quatrième ordre è*; elle estévi-

Algr^rt *»p<ritttrt. p. 17»,

demment satisfaite quand on pose

bd — c*=o, ad — ôc = o, ac — 6*=o;

elle passe donc par les 9 points de rebroussement de K^.

11. Cherchons directement les points où elle coupe cette courbe. Pour tout point de K^, l'équation (i) a deux racines égales, et, en vertu de la propriété fondamentale des invariants, on peut supposer que la valeur commune de ces racines soit zéro^ ou bien poser

a = Oj ô = o.

I devient alors égale à

— Ac«;

pour que cette quantité s'annule, il faut que Ton ait

c est-à-dire que le point pris sur K' soit un point de rebroussèrent, ou bien que

c est-à-dire que la tangente menée en ce point à K* touche aussi K^.

La courbe 5* rencontre donc K' aux 9 points de rebroussement (chacun de ces points comptant pour deux, comme on le savait <i priori) et aux 6 points de contact des tangentes communes àK'etàK».

D'où la proposition suivante :

Théorème. — Étant données une courbe de troisième classe K' et une courbe de seconde classe K^, les 6 points où les tangentes communes à ces courbes touchent K* et les ^points de rebroussement de K' sont sur une même courbe de quatrième ordre 5*.

12. Si l'on prend au hasard, sur K*, 5 points a, ces 5 points et les 9 points de rebroussement de la courbe déterminent une courbe du quatrième ordre qui rencontre K' en un sixième point p. D'un autre côté, les 5 tangentes menées à K' par les points a déterminent une courbe de seconde classe K^ ; K* et K* ont une sixième tangente commune. Son point de contact avec K', étant

sur une courbe du quatrième ordre passant par les 5 points a et les 9 points de rebroussement, se confond avec ^.

D'où le théorème suivant, réciproque de la proposition précédente :

Théorème. — Si par les 9 points de rebroussement d^une courbe de troisième classe K', on mène une courbe quelconque du quatrième ordre, cette courbe rencontre K' en 6 points (•) distincts des points de rebroussement; les tangentes menées à ¥J par ces 6 points touchent une même conique.

13. La conique K^ peut se composer d'un couple de points P et Q. La courbe d^ passe alors par les 6 points de rebroussement de K^ et les 6 points de contact des tangentes qu'on petit lui mener des points P et Q. Je dis, de plus, qu'elle passe par ces points eux-mêmes.

En effet, pour l'un quelconque de ces points, la tangeiite menée de ce point à K^ est indéterminée ; l'équation

est satisfaite identiquement, et l'on a

Mais, dans ces hypothèses, I s'annule évidemment; la proposition est donc démontrée.

En se reportant au paragraphe précédent, on déduit de là le théorème suivant :

Théorème. — Etant pris sur une courbe de troisième classe R' 3 points a, a' et a'', tels que les tangentes en ces points concourent en un même point A, toute courbe du quatrième ordre qui passe par les 9 points de rebroussement de K^ et les 3 points a, a' et d' passe par le point A; elle rencontre K' en 3 autres points, et les tangentes en ces points se coupent en un même

(') Ces points sont, en général, distincts des points de rebroussement; mais, dans des cas particuliers, un certain nombre d'entre eux peuvent venir se confondre avec quelques-uns de ces derniers.

MÉMOIRE DE GEOMETRIE ANALYTIQUE. igg

point B, qui est également situé sur la courbe du quatrième ordre.

14. Menons, dans le plan de K^, une droite quelconque A, les tangentes menées à la courbe aux 6 points a, où elle est coupée par A, touchent une même conique K^ qui est la polaire de A.

Dans ce cas, la courbe du quatrième ordre d* passant par les 6 points de contact a qui sont en ligne droite, il est clair que cette courbe se décompose en la droite A et une courbe du troisième ordre S{? passant par les 9 points de rebroussement. Cette courbe, d'ailleurs, est complètement déterminée, puisque par les points de rebroussement d'une courbe de troisième classe on ne peut faire passer qu'une courbe de troisième ordre, et elle demeure toujours la même, de quelque façon que l'on choisisse la droite A.

Son équation est facile à obtenir; considérons, par exemple, la conique polaire de la droite de l'inGni, et soit

son équation mixte; d'après ce que je viens de dire, on voit que l'équation

s'abaisse au troisième degré; c'est précisément l'équation de la courbe ^'.

15. Si la droite A est tangente à la hessienne de K', sa conique polaire se compose de 2 points; ces 2 points, d'après ce que j'ai dit ci-dessus (n** 13), se trouvent sur 5*, qui, dans ce cas, se compose de la tangente à la hessienne et de la courbe Jl'. Comme ils sont en dehors de la droite, ils se trouvent nécessairement surt'R' ; on retrouve ainsi cette proposition bien connue de M. Cajley :

Le lieu des couples de points qui constituent les coniques polaires des tangentes à la hessienne d^une courbe de troisième classe est la courbe du troisième ordre qui passe par ses ^points de rebroussement,

16. On peut encore supposer que la conique K^ se réduise à un point double.

aoo GÉOMÉTRIE.

Soient q el r^ les coordonnées de ce point; son équation mixte

sera

— (r — r,)ii-\- À(x — 0 = o,

OU, en posant, pour abréger, y — t^ = Y et jt — Ç = X,

D'où, pour Téquation de la conique K* (considérée comme point double),

(Yï, -XY, x»;;a, jx)« = o.

On a alors

expression dans laquelle, si Ton considère X et Y comme les

variables, on reconnaît immédiatement le covariant quadratique

de U.

L'équation

représente une courbe du quatrième ordre ^* qui passe par les 9 points de rcbroussement de K' et qui touche cette courbe aux points de contact des tangentes issues du point donné; on voit, de plus, à l'inspection de Téquation précédente, qu^elle a ce point pour point double, et que les coefficients angulaires des tangentes au point double sont les racines de Téquation

(ac — b^ )X* -h {ad— ôc )X,u h- ( ,irf — c* ) «Jt* = o,

obtenue en égalant à 2^éro le covariant quadratique de U. On peut donc énoncer la proposition suivante :

Ïhéobemk. — Si, par un point donné M, on mène les tangentes à une courbe de troisième classe K', on peut tracer une courbe du quatrième degré -"J* qui passe par les g points de rebroussement de K', touche cette courbe aux 3 points de contact des tangentes et a le point M pour point double.

17. On sait que Ton peut, de différentes façons, partager les

9 points de rebroussement de K' en 3 groupes de 3 points, tij, aj,

et «3, 6|, 62 et 63, C|, C2 et ^3, de telle sorte que, dans chacun de

ces groupes, les tangentes a la courbe concourent en un même

point. Soient A, B, Clés points de rencontre correspondant aux groupes précédents.

Supposons que la conique K^ se compose du point A pris 2 fois ; a des points de rencontre de 5* avec K' viennent se confondre alors au point eii, et, comme 2 de ces points s'j trouvaient déjà confondus, on trouve en tout 4 points d'intersection réunis au point «f. D'où l'on conclut que 5* a ce point pour point double; comme le même raisonnement peut être fait relativement aux points aa et a^, et comme d'ailleurs {voir n® 16) 5* présente un point double en A, l'on voit que cette courbe du quatrième ordre a 4 points doubles; elle se résout donc en un couple de coniques.

On déduit de là les propositions suivantes (*) :

Soient a%y a2 et a^ 3 points de rebroussement d^une courbe de troisième classe K', tels que les tangentes en ces points concourent en un même point A; si^ par les points aj, «a, a^^ A et par un cinquième point de rebroussement b\ on mène une conique, cette conique JDÏ rencontre K* en 2 autres points de rebroussement de la courbe b^ et 63, et les tangentes aux points 6|, 62 et b^ concourent en un même point B qui se trouve également sur la conique IB.

Les 3 autres points de rebroussement Cj, C2, C3 de la courbe sont également sur une conique C, qui passe par les points a^, aj, az, A et par le point C, où se coupent les tangentes de rebroussement aux points c, c^ et C2.

En désignant par m, n, p^ q i points situés sur une conique, appelons pour un instant rapport anharmonique de ces points le rapport anharmonique du faisceau suivant lequel ces points sont vus d'un point quelconque de la conique, et désignons-le par la

notation

R(m, /i;/>, gr).

Cela posé, en désignant par p et p^ les deux racines imaginaires de l'unité, on a, en considérant les points a^, ^2, ^3, b\y 62, 63,

(*) Comme le développement de ces questions se rattache plutôt à la Géométrie pure qu'à la Géométrie analytique, j'ai, pour abréger, supprimé quelques démonstrations que le lecteur rétablira facilement.

a02 OéOMÉTRIE.

A, Bf situés sur la conique K, les relations suivantes :

R(A, as; ai,at)=—py R(A, B; a,,a,) = p«,

et les relations analogues que Ton obtient en permutant entre eux les points ai, a^ et a^.

Pour les points situés sur la conique C, on a de même les relations

R(A, as; a,,a,)=— p«,

R(A, G; aiyat) = p.

J'ajouterai encore la remarque suivante :

Si, par les points Â, B, C et deux points de rebroussement d'un même groupe, tels que a^ et ^2, on fait passer une conique, le pôle de la droite aia2 relativement à cette conique est le troisième point de rebroussement du groupe, c'est-à-dire aj.

Le développement des relations qui ont lieu entre les points de rebroussement d'une courbe de troisième classe donnerait lieu à quelques remarques intéressantes; mais ce n'est pas ici le lieu de les exposer. M. Hesse a déjà donné d'élégantes propositions sur ce sujet dans le Journal de C relie (t. 36).

18. Parmi le grand nombre de propositions particulières que l'on peut déduire de la proposition du n° H, je me contenterai de donner la suivante :

Considérons un point de rebroussement r de la courbe K' et une courbe du quatrième ordre composée de la tangente de rebroussement en ce point et d'une courbe du troisième ordre passant par les 8 autres points de rebroussement H. La tangente en r rencontre la courbe en Z points a distincts du point r, et les tangentes en ces points concourent en un même point p situé sur la courbe du troisième ordre ê{} qui passe par les 9 points de rebroussement.

En appliquant la proposition déjà citée, on aura le théorème suivant :

Si, par les 8 points r', on mène une courbe quelconque du troisième ordre^ cette courbe coupe K' en 2 points distincts

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. 2o3

des points H ; les tangentes menées en ces points à ¥J se coupent sur la tangente de rebroussement au point r. La courbe du troisième ordre passe en outre par ce point de rencontre et par le point p, qui est ainsi le neuvième point fixe, commun à toutes les courbes du troisième ordre qui passent par les 8 points r'.

19. Considérons maintenant deux courbes de troisième classe K'

cl K", et soient

U = (a, b, c, dW fx)»= o

et

leurs équations mixtes.

Ces deux courbes ont 9 tangentes communes, et l'équation mixte générale des courbes de troisième classe, qui touchent ces 9 droites,

est

U-f-pU'=o,

p désignant un paramètre arbitraire.

20. Pour éviter d'inutiles répétitions, je transcrirai d'abord le Tableau suivant des divers invariants des formes U et U' :

H = if (a«rf-l- 26»— Zabc ) — 3c'(6ïc -h abd—iac^) -^ 3b'(2b^d — bc^— acd) -- a'iàbcd — ad*— ic^ ),

W=d(a'^d''^ib'^—3a'b'c') — 3c(b'*c'-+-a'b'd'—ia'c'*) '^3b(2b'*d'—b'c'^—a'c'd) — a{3b'c'd'—a'd'^—:tc'i),

I = a(ac — 6«) (6'cr- c'») -h 2( W— c*) {a'c'— b'*)

— (ad — bc) (ad'— b'c'),

J =CKi'— 36c'-h3c6'— rfa',

R =(aif)»— 9(aûr)«(6c')-+-'27(ca')î(céf) + u7(û?^>')Ha^')

— %\{ab'){bc') (cd') — '^-{ad) (ab') (cd) (> ).

21. Les plus importants de ces invariants sont d'abord les deux

(*) Je désigne ici» suivant l'usage, par les symboles (ad')j {ab'), ..., les binômes alternés

ad' — da\ ab' — ba\ ....

discriminants D el D'; en les égalant à zéro, on a les équations cartésiennes des deux courbes K' et K'' ; Téquation d^une courbe quelconque du troisième ordre K!, tangente aux 9 tangentes communes aux 2 premières, s'obtiendra en égalant à zéro le discrimi-

nanl de

U-i-pU';

elle peut se mettre sous la forme

(-2) D-i-2pH-Hp*(J'— CI)-4-2p»H'^-p*D'=o-

22. Le Tableau précédent renferme deux combinants R et J. R est le résultant des deux formes U et U'; l'équation

représente évidemment l'ensemble des 9 tangentes communes aux deux courbes, droites qui touchent aussi toutes les autres courbes du faisceau.

Pour un point de rebroussement de K', l'équation

ayant trois racines égales, on peut supposer

dans ces hypothèses, R devient

et J devient

pour tout point de rebroussement de K', on a donc (3) R-J3 = o;

si maintenant on remarque que, R et J, étant des combinants, ne changent pas de valeur quand on y remplace U par U + pU', on en conclut que l'équation précédente représente le lieu des points de rebroussement de toutes les courbes du faisceau. Ceci suppose que l'on n'ait pas identiquement

Je reviendrai plus loin sur ce sujet.

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. ao5

23. Considérons une courbe de troisième classe K' et ses 9 tangentes de rebroussement; on peut inscrire, dans le polygone formé par ces 9 droites, une infinité de courbes de troisième classe qui, toutes, auront les 9 premières tangentes pour tangentes de rebroussement. Le lieu des points de rebroussement se confond alors avec les tangentes elles-mêmes, et l'on a

D^oii cette conséquence remarquable :

Si deux courbes de troisième classe ont les mêmes tangentes de rebroussement, l'invariant J relatif à ces deux courbes est identiquement nul.

Réciproquement, si cet invariant est identiquement nul, les deux courbes ont mêmes tangentes de rebroussement.

24. Cette proposition peut s'énoncer de la façon suivante pour les courbes du troisième ordre :

Si, par les 9 points d'inflexion d'une courbe du troisième ordre, * on fait passer un faisceau de courbes, ce faisceau détermine sur une sécante fixe quelconque une division en involution.

Chaque groupe de 3 points de cette involution peut élre considéré comme déterminé par les racines d'une équation de la forme

ax^-^- 36ar«-l-3car-i-e/-+-|»(a'ar«-4-36'a:«-+-3c'a7H-rf') = o;

cela posé, l'invariant

ad'^Zbc'-^Zcb'^da'

est toujours nul, quelle que soit la position de la sécante,