Si Ton égale à zéro l'invariant H, l'équation

IÏ=o

représente une courbe du sixième ordre, 5C*.

Pour trouver les points de rencontre de cette courbe avec K',

faisons

a = o et 6 = 0.

11 se réduit alors à

20f) GÉOMÉTRIE.

Celte quantité s'annule pour

donc la courbe JC^ passe par les points de rebroussement de K' et elle la touche en ces points, puisque chaque point d'intersectioD doit compter pour 3.

Cette quantité s'annule encore pour

donc .1C^' passe par les 9 points de contact des tangentes communes à K» et à K'».

Les courbes JC^ et K^ n*ont d'ailleurs, évidemment, aucun autre point commun.

Laissons la courbe K'' fixe, et remplaçons la courbe K' par la courbe variable K», dont l'équation cartésienne est

D-f-23H-f-p«(J«— GI)-i-2p»ir-f-p^D' = o;

la courbe que je viens de considérer est remplacée par une courbe 3Cp, dont l'équation est

H-f-p(J»— 6I)-H3p«IÏ'-4-2p»D'=o;

les courbes Kp et 3CÎ se rencontrent :

1° Aux points de contact des tangentes communes à KJ^ et à K.» ;

2° Aux points de rebroussement de Kp, chacun de ces derniers comptant trois fois.

Si Ton élimine la variable p entre les équations précédentes, Téquation obtenue en égalant le résultant à zéro représente donc :

i** Les 9 tangentes communes aux courbes Kî ;

2** Le lieu de leurs points de rebroussement de ces courbes, ce dernier lieu étant pris 3 fois.

Remarquons maintenant que, le premier membre de l'équation (3) (Haut la dérivée par rapport à p du premier membre de Féquation (2), le résultant de ces deux équations est le discriminant de (2).

Ce discriminant ne peut donc différer que par un facteur constant du produit

paîsque, comme nous l'avons vu,

eslVéquation du lieu des points de rebroussement des courbes K . Ces résultats sont d'ailleurs d'accord avec Ja théorie bien connue des formes cubiques simultanées.

S6. Les considérations précédentes s'étendent sans difficulté à des courbes d'une classe quelconque.

Soient un faisceau de courbes de /i*^"* classe tangentes à n^ droite s

fixes, et

U = (a, 6, c, . . . , A, A-, / ÎX, fx)«= o,

U'= {a\ b', c\ .,., A', A-', r\\, ii)n = o

les équations mixtes de deux courbes de ce faisceau, K" et K'^'. Soit, en outre, D le discriminant de la forme U. Posons

ti = a -j h o -pr H-. . .-T- A -jf — h * —77 •

aa do dk dl

H est un invariant des formes U et U', dont le poids est égal à n{n — i), et par conséquent l'équation

représente une courbe 30"^""*^ de degré n{n — i).

Pour trouver ses points de rencontre avec K", il faut faire, dans

Tin variant H,

a = o et 6 = 0.

D'après un beau théorème de Joachimsthal (*), D est de la forme

A désignant le discriminant de la forme

En tenant compte de cette expression, on voit que, dans les hypo-

(») Salmon, Alg, sup., p. 80.

thèses données, la valeur de H se réduit à

fo désignant la valeur de o quand on y fait

a = o et 6 = 0.

Or l'on a en général

ç> = — 4cA-h^ /<f ^--h... j A;

on a donc

Qo = — 4cAo,

Aq désignant la valeur de A dans les mêmes hjpothèses que ci-dessus.

D'après le théorème déjà mentionné de Joachimsthal, on a

V désignant le discriminant de la forme

On en déduit

d'où l'on voit que la valeur de H se réduit à