Celte valeur s'annule

1" Quand l'on a

Donc la courbe ^C'^""*^ passe par les n^ points, où les tangentes communes aux courbes du réseau touchent K". 2** Quand on a

C'est ce qui a lieu pour les points doubles de K"; car, en ces

points, l'équation

outre la racine double égale à zéro, a une autre racine double que l'on peut supposer infinie; mais on a alors

/ = o et A: = o,

et par conséquent

puisque, dans ce cas, réquation

a aussi une racine double.

3** Quand on a

Donc la courbe considérée passe par les points de rebroussement de K", et, comme ces points comptent trois fois, la courbe lui est tangente en chacun d'eux.

Nous avons ainsi tous les points dMntersection des courbes K'' cl je'*^'»"'*^ Chacun des points doubles de K" doit, en effet, être compté au moins deux fois. Or le nombre total des points d^intersection est [n(n — i)]^, ou m^, si l'on pose

D'après une formule de Pliicker, on a

en désignant respectivement par d et par r le nombre des points doubles et des points de rebroussement de K". On en déduit

ni^ = m -\- n -h 2'd -h 3 r = n^ -\- 1 d -h à r.

Les m^ points d'intersection se composent donc :

1® Des n^ points de contact des tangentes communes à K"

et K'« ;

2® Des d points doubles (chacun d'eux étant compté deux

fois);

3** Des r points de rebroussement (chacun d'eux étant compté

trois fois).

28. Quelques remarques sur les résultats précédents ne seront pas inutiles.

On sait que les points d'intersection des deux courbes de degré /i(n — i), K** et 3C''^'*~*^ ne sont pas indépendants entre eux; en L. - II. i4

aïO GEOMETRIE.

conservant les mêmes nolations que ci-dessus (*),

{m — lUm — 1)

de CCS points sont déterminés par les autres.

De même les tangentes communes aux deux courbes de classe n, K" et K'", ne sont pas non plus indépendantes entre elles;

in — \)(n — 11)

d'entre elles sont déterminées par les autres.

Les deux nombres précédents sont égaux, car ils indiquent tous deux le genre de la courbe K''. On déduit de là la proposition suivante :

Etant donnée une courbe de n classe K", si Von mène une courbe quelconque de degré n(n — i), qui passe par les points doubles de K" et la touche en chacun de ses points de rebroussèment, cette courbe rencontre K" en n'^ points distincts de ses points singuliers; les tangentes menées à K", en ces n* points, * sont tangentes à une autre courbe de même classe,