L-hpU'=o
son équation mixte. En désignant par F(p) le discriminant de celle équation (discriminant pris par rapport à X et jx),
est Téquation cartésienne de K».
La courbe 50"^""*^ relative à Kp a pour équation
(') Clebscu et GoRDAN, 77*. von der AbeUchen Functionen, p. 35,
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. ail
Soit "W le discriminant de F(p) (discriminant pris par rapport
est le résultat de l'élimination de p entre les deux équations précédentes. Nous obtenons ainsi Tenveloppe des courbes du faisceau; d'autre part, en se reportant à ce que j'ai dit dans le n® 27 sur l'intersection des courbes JC"^'*"*^ et K", on voit que cette enveloppe se compose :
1® Des /i* tangentes communes;
2® Du lieu des points doubles des courbes du faisceau, ce lieu étant compté deux fois;
3® Du lieu des points de rebroussement de ces courbes, ce lieu étant compté trois fois.
Si donc on désigne respectivement par
les équations du système des tangentes communes, du lieu des points doubles et du lieu des points de rebroussement, on a
Du poids connu des invariants ID et là, on conclut que le lieu des points doubles des courbes du faisceau est du degré
2/i(/i — i){n — 3) et le lieu des points de rebroussement du degré in(n — 2).
30. Je reviens maintenant au cas spécial d'un faisceau de courbes de troisième classe. L'équation générale d'une courbe de ce faisceau est
(1) D-+-2pH-+-p«(J«— 6I)4-2p3ir4-p*D'=o;
et l'on voit que par chaque point du plan passent quatre courbes du faisceau.
Il'est facile de trouver les coefficients angulaires des tangentes
(*) On déduit de là une proposilion iniportaDte sur les formes binaires donnée par M. Salmon, d'après M. Cayley, mais sans démonstration {High Algebra, p. i49 do l'édition anglaise).
9ia
OKOMÉTRIE.
à CCS courbes au point donne. En efiet, en désignant pour un
instant par
/(X, jx) = o cl 9(X, fi) = o
les équations mixtes des courbes K' et K'', Téquation
où X et V ont ëtc remplacées par les valeurs des coordonnées du point, détermine les tangentes menées de ce point à une courbe ({iielconquc du faisceau. L'ensemble de ces tangentes forme un faisceau d*involution, et les droites doubles de celte învolution sont précisément les droites cherchées; on les obtient, comme Ton sait, en égalant à zéro le Jacobien des deux formes f et cp, et Téquation qui donne des coeffîcients angulaires des tangentes est
r/f df
dQ d^ dK d\i
Si Ton met en évidence les coefficients de U et de U', cette équation devient
r = (Grt//-^a'), 3(ac'-ca'),
ad'—da'-^ibc'—Zch', 3{bd'-db'), 6(c^/'— rfc')ÏX, fi)*= o;
et si Ton désigne par S et T Tinvariant quadratique et rinvarîant cubique de la forme V, on a
J et II ayant la même signification que dans les numéros précédente.
31. Par un point quelconque M du plan passent, comme nous l'a\ons vu, quatre courbes du faisceau. Voyons comment on peut déterminer le rapport anharmonique des tangentes à ces courbes en ce point. Soit A' ce rapport anharmonique, si nous posons
z sera racine de l'équation
UÉMOIRE DR GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. 3l3
S et T désignant, comme précédemment, Tinvariaut quadratique et Finvarianl cubique de T.
Si Ton remplace S et T par les expressions données ci-dessus, on obtient Téquation
32. Si nous supposons que la valeur du rapport anharmonique k soit donnée, l'équation précédente estTéquation du lieu des points tels que les quatre courbes du faisceau, qui se croisent en ce point, aient un rapport anharmonique donné.
On voit que ce lieu se compose de deux courbes du neuvième degré
et
Réciproquement, toute courbe dont l'équation est de la forme
aR^pJ»=o,
a et /3 désignant des constantes, représente une courbe telle que les quatre courbes du faisceau, qui se croisent en chacun de ses points, ont un rapport anharmonique constant.
Les cas particuliers les plus remarquables sont les suivants :
I** Si le rapport est harmonique; on a alors
et le lieu se réduit à la courbe du neuvième degré, dont Téquation
est
2^ Si le rapport anharmonique est égal à une racine imaginaire de l'unité négative ; on a alors
et le lieu se réduit à la courbe du troisième degré, dont Téquation
est
