Les résultats précédents supposent que J n'est pas iden

ai4 QÉOMKTRIE.

liquement nul. Nous avons vu que ce cas se présentait lorsque les courbes du faisceau avaient mêmes tangentes de rebrou sseme ni. L'équation ^3) donne alors

D'où cette conséquence :

5i Ion considère les courbes de troisième classe qui ont les mêmes tangentes de rehroussementy par tout point du plan passent quatre de ces courbes, le rapport anharmonique de ces quatre courbes est constant, quelle que soit la position du point, et égal ù une racine imaginaire de l'unité négative.

3i. J'ai montré (2!2) que l'équation du lieu des points de

robroussement des courbes de troisième classe, qui forment on

faisceau, était

R — Jî = o.

Cleci suppose toutefois que cette équation n'a pas lieu identiquement. Ce cas peut elVectivemenl se présenter. Soit

L' = ^<i. b. c\ </iX, u »* = o

l'équation mixte d'une courbe de troisième classe K^; soient Ç, r^ les coordonnées d'un point M du plan, dont l'équation mixte sera

\ — Y. \ À. ;JL t' = o.

si l'on pose pour abréger

Y = y — T, ei \ = X — ;.

Considérons le faisceau de courbes de troisième classe, dont l'équation est

cl. (k t\ d\\. :l^^— =i— Y>, XY», — X«Y. X»î/., 51)» = o,

3 désii:nant un paramétre arbitraire.

Pour abrés:er, je poserai

lï. b, t'. l/ A. 'X * = f\ X. 'J. '.

MéMOIRG DE OIÊOMÉTRIE ANALYTIQUE. ai5

hÇk^ [jl) et gÇk, [jl) sont, comme on le voit, le covariant quadratique et le covariant cubique de fÇk, [»■)*, (je n'ai écrit que le premier terme de leur développement).

Cela posé, on voit immédiatement que l'équation

représente Tensemble des tangentes que Ton peut mener du point (i, "J^) à la courbe; que R et J sont respectivement égaux à /»(X, Y) et /(X, Y); la relation

est donc satisfaite identiquement.

Résultat facile à prévoir, car Téquation (2) devient dans ce cas

Le discriminant de cette équation (considérée comme étant du quatrième degré) est évidemment nul, puisqu'elle a deux racines égales à l'infini; d'autre part, on sait que ce discriminant est égal, à un facteur numérique près, à

R(R — js)»;

on devait donc trouver R — J'= o.

Si l'on égale à zéro le discriminant de l'équation (4) (considérée comme une équation du second degré), on obtiendra l'équation de Tenveloppe des courbes du faisceau. Cette enveloppe ne comprendra pas les tangentes communes servant de base au faisceau, parce que les courbes les touchent en des points fixes; elle se réduira donc au lieu des points de rebroussement qui devra être compté trois fois.

Donc le discriminant de l'équation (4) est un cube parfait; et, en effet, il a pour valeur

^HX,Y)-D/«(X,Y),

quantité qui, d'après un théorème bien connu de M. Caylej, est

égale à

Le lieu des points de rebroussement est donc la courbe du sixième

3lG

QKOMKTRIE.

degré, dont l'équation est