PROPRIÉTÉS DES COIRBES DE QUATRIÈME CLASSE

l- = ûi, A, r. <-/, c'a, ,a)^— o

son équation mixte. La forme U a deux invariants fondamentaux S et T, dont je transcris ci-dessous les valeurs,

S = «r— îA//-:- Jr«,

T = itce -r- 'xhvtl — ad^ — eb^ — c'.

Ces invariants étant respcclivement d'un poids égal à 4 et d'un poids é^al à (>, les équations

S-ro

n*présenlonl respect ivouienl dos courbes du quatrième et du sixicme ordre. Clos courbe>, que j'appellerai S* et t®, jouissent des propriétés roman|ual)les déjà sij;iialées par iJ. Clebsch (*).

Pt>ur trouver les points de rencontre de -S* et de K*, faisons, dans S, // et b égaux à zéro, S île vient alors égal à

ootto quantité s'annule pour (' = 0, et ne s'annule que dans ce cas. Donc la courbe s* pa<so par les 24 points de rebroussement de la courbe K* et no coupe la courbe qu'en ces points. IXins lo> mémos livpolhéses, T se réduit à

d'où cotlo conséquence :

La courbe C' loucbo K* on oliacun de ses 24 points de rebroussement et n'a d'ailiours aucun point commun avec elle.

Ainsi les points do robroussomonl de K* sont les points d'intersection vios doux courbes 5' et C*.

\') i'fUr svmMis\\hc IXz's:^:::.':^ iz.'^^traùchi'r Formen {Crelie. t. 59).

36. Par chaque point M du plan, on peut mener quatre tangentes à K.*. Cherchons le rapport anharmonlqne de ces tangentes. Soil A: ce rapport anharmontquc. Si nous posons

nons voyons, comme au n° 31, que z est racine de l'équation

S et T ayant la même signification qu'au paragraphe précédent. Li^équation

OÙ a et p désignent des constantes arbitraires, représente donc le lieu d'un point tel que les tangentes menées de ce point à K* forment un faisceau ayant un rapport anharmonique donné. Les cas particuliers les plus remarquables sont les suivants : 1 ® Quand A* = o, d'où ^ = oo ; on obtient alors

c'est, en coordonnées cartésiennes, Téquation de la courbe K^ ;

2® Quand A" = — i, d'où ^ = 2 ; le rapport est alors anharmonique, et l'équation se réduit à

la courbe G" est donc le lieu des points tels que les tangentes menées à la courbe forment un faisceau harmonique;

3® Quand A" = p, p étant une racine cubique de l'unité négative; on a alors z — 1 = 0, et l'équation se réduit à

la courbe S* est donc le lieu des points tels que le rapport anharmonique des tangentes menées à la courbe est égal à une racine cubique de l'unité négative.

37. Pour étudier les points doubles de la courbe K^, considérons en même temps une autre courbe de quatrième classe K'^, dont l'équation mixte soit

•ii8

OÉOMÉTRUC.

Cl posons

rt^' i^bd:-\- r»rc'— 4rf^'-+- ea\

: c'iac — />«) — -xffiad— &c) -+- c'(atf -4- a6i/ — 3c« ) — xh'ihc — cd) ■+■ a' {ce — rf* ).

I et J sont deux invariants des formes U et U'.

Si nous égalons à zéro le nouvel invariant Û = 2SJ — 3T1, comme ret invariant est d'un poids égal à lo, l'équation

•jiri

SJ — 3TI = o

représenlora une courbe du dixième degré al»'®.

Pour avoir les points de rencontre de cette courbe avec K*, faisons

a = o ei h = o.

U devient alors

fM'îi—3r2r'-i- 26' cr/ -*-«><? — a'^) -h 3c»(6cc'—4</*'-+- <?«').

ou, en rôiluisant.

Zc^a'ilce — ac/*).

Cette quantité s*annule :

1^ ipKUul

donc ri**' passe par les i(> points de contact des tangentes communes au\ courbes K* et R'';

-.V' quand Ton a

donc l"^ passe par les -aS points de rebroussement de K*, chacun do 00s points comptant pour doux, comme on le savait a priori; y^ quand l'on a

3iv — Jt/* — o,

00 qui a lion aux points doubles de R* : en eHet, pour ces points, IVquation

outrt'' la raoino double ô^alo à roro. a une autre racine double que

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. aiQ

Von peut supposer infinie, ce qui revient à poser

e = o, rf = o,

auquel cas l'expression précédente s'annule.

Chacun de ces 28 points doubles doit d'ailleurs évidemment èlre compté deux fois.

On a aussi tous les points d'intersection de K* el de Jl>*®, car ces points sont au nombre de 120, et Ton a bien

120 = 16 H- 7.. 2^ ■+■ 2.àS.

D^où la proposition suivante :

Théorème. — Étant données une courbe de quatrième classe K* et une autre courbe arbitraire de même classe K'*, les 16 points oà les tangentes communes à ces courbes touchent K* et les 52 points singuliers de K* sont situés sur une même courbe du dixième degré X^^,

38. Les 120 points d'intersection des courbes X*® et K* ne sont pas indépendants entre eux; comme on le sait,

sont déterminés par les autres.

Des 16 points d'intersection distincts des points singuliers de K*, i3 suffisent donc pour déterminer les autres; remarquons maintenant que les i3 tangentes en ces points suffisent pourdéterminer aussi 16 tangentes communes à K^ et à un faisceau de courbes de quatrième classe.

De là résulte le théorème suivant :

Sif par les 62 points singuliers d'une courbe de quatrième classe K*, on fait passer une courbe quelconque du dixième ordre, cette courbe rencontre K' en 16 points distincts des points singuliers; les tangentes menées en ces 16 points à K* touchent une autre courbe de quatrième classe.

O Cf. Clebsch et Gordan, loc. cil.

320 OéOMÉTRIE.

39. La courbe de quatrième classe K'^ peut se décomposer en une courbe de classe inférieure et en un point ou en un système de points. On démontrerait, comme au n^ 13, que la courbe «^*® passe par ces points.

En particulier, si K'^ se résout en un système de 4 points, on a la proposition suivante :

Si, par 4 points (a), on mène des tangentes à une courbe de quatrième classe K*, les i6 points de contact des tangentes et les 02 points singuliers de la courbe sont situés sur une même courbe du dixième ordre X'", qui passe par les ^points (a).

40. Lorsqu'on coupe une courbe de quatrième classe K^ par une droite A, les tangentes, aux 12 points de rencontre de A avec K^, touchent une même courbe de troisième classe K', qui est la polaire de A.

Adjoignons à cette dernière courbe un point arbitraire M; l'ensemble de K' et M constitue une courbe de quatrième classe.

La courbe X^^ correspondante passe par les points de contact des tangentes communes à K' et à K*, c'est-à-dire parles 12 points de rencontre de A avec K* ; elle contient donc celte droite tout entière, et se résout en la droite A et une courbe du neuvième ordre ill)®. Cette courbe passe d'ailleurs parles 52 points singuliers de K*, les 4 points de contact des tangentes menées de M à K* et en outre par le point M (C/. n® 39).

On peut donc énoncer les propositions suivantes :

Théorème L — Si d\in point M pris dans le plan d'une courbe de quatrième classe K*, on mène des tangentes à la courbe, les 4 points de contact et les 52 points singuliers de K* sont situés sur une même courbe du neuvième ordre, qui passe en outre par le point M.

Théorème II. — Si, par les 52 points singuliers d^une courbe de quatrième classe K*, on mène une courbe quelconque du neuvième ordre, cette courbe rencontre K* en 4 points distincts des points singuliers, les tangentes en ces points à la courbe K* se coupent en un même point M, qui se trouve sur la courbe du neuvième ordre.

MÉMOIRE DE OÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. aai

M. On peut choisir la droite A de telle façon que sa polaire se compose en une conique et un point tu; nous prenons, du reste, point M arbitrairement dans le plan. La courbe X*® se compose ^ors de la droite A et de la courbe \)î>® correspondante au point M ; ^ après ce que nous avons vu, le point m doit se trouver sur al>*®, ^^1 comme il est en dehors de la droite A, il est nécessairement Mtué sur ift)».

On trouve dans le plan 21 points tu, qui sont évidemment caractérisés par la propriété que les tangentes que l'on peut mener de chacun d'eux à K* ont leurs 4 points de contact en ligne droite; ws 21 points se trouvent donc sur la courbe ail)', quelle que soit la position du point M.

D^où la proposition suivante :

Théorèîie. — Toutes les courbes du neuvième ordre qui passent par les 02 points singuliers d'une courbe de quatrième classe passent en outre par 21 points fixes; ces points fixes iont les points qui jouissent de la propriété que les tangentes menées de chacun d'eux à R^ ont leurs points de contact en ligne droite.