Je m'arrête ici dans l'élude de l'invariant
2SJ— 3T1;
les théorèmes auxquels cette étude nous a conduits comprennent, dans leur énoncé, tous les points singuliers de la courbe.
Pour étudier en particulier les points doubles de K*, je considérerai le covariant du sixième ordre de U,
V = (a«É?-»- 26* — 3a6c, a*e -h labd — gac*-*- 66*c, Sabe — 1 5 ac<i -4- 10 6* rf, lob^e — io<i'a, — Sade ■+■ îSbce — lobd^, — ae^ — 2bde -H c^ce* — bcd^, Zcde — 2rf»— be^W \Lf.
Pour que l'équation
(') Je signalerai cependant encore, en passant, le cas important où Tinvariant <I03dratique I est identiquement nul ; alors la courbe il>'® se décompose en S^ et ^^ Qne courbe du sixième ordre ri^ sur laquelle sont, dans ce cas, situés les ^^ poiois doubles de la courbe K* et les 38 points doubles de K'^
aaa géométrie.
ait deux couples de racines égales, ii faut et il suffit que tous les coefficients du covariant V se réduisent à zéro.
Le poids de ce covariant étant égal à 9, en égalant à zéro ses coefficients, on obtient Téquation d^autant de courbes du neuvième ordre, qui toutes passent par les 28 points doubles de la courbe.
43. Considérons en particulier le coefficient de X'[x', réquation
représente, comme nous venons de le voir, une courbe du neuvième degré passant par les 28 points doubles de K^.
La forme remarquable de cette équation donne lieu à d'importantes conséquences; on voit, eu efiet, facilement que
est l'équation du faisceau des tangentes menées à la courbe par le
point x^ situé à Tinfini sur Taxe des x.
De même
est l'équation du faisceau des tangentes menées à la courbe par le point y^ situé à l'infini sur l'axe des ^.
Supposons que ces points soient deux points doubles de la courbe; alors a et b seront deux carrés parfaits, et si Ton pose
a = a* et b = ^*, l'équation de la courbe du neuvième ordre deviendra
équation qui se décomposera en deux autres
oid — p6 = o et
ad-hj^b = o.
Dans ce fait analytique se trouve l'origine des beaux théorèmes donnés par Sleiner sur les points doubles des courbes de quatrième classe (*); mais, pour en développer toutes les consé-
(') Il est presque inutile d'ajouter que Sleiner les a énoncés pour les tangentes doubles des courbes du quatrième ordre.
quenceSy il est nécessaire d'étudier plus complètement le cova- TÎant V.
44. Considérons, en même temps que la courbe K^ , une conique quelconque K^ dont l'équation mixte soit
(A,B,GJX,iJi)«=o.
De cette forme et du covariant V on déduit l'invariant suivant ;
1 = {a'^d— Zabc -+- 263)G»— (a»e -H- iabd—^ac^-ir 66»c)BC« i^abe — Zacd-^7.b^d)kÇ^-\-{^abe — iiacd-^%b^d)B^C 6(ac^ — ^»«c)ABG-h4(aflr* — ^»*tf)B» — (arfe — 36ce-f-26c?ï)A«G
— (4arfc — iibce -H- 86rf«)AB»-h (a««-+- 2 6c?« — ^c^e -h 6cû?« )BA«
— (6c«— 3crftf-+-2rf»)A«.
Cet invariant étant d'un poids égal à 9, l'équation
représente une courbe du neuvième ordre d^.
1** Lorsqu'on fait
a = o et 6 = 0,
I se réduit à
(•2rf«— 3ce)(3Bc--Arf)A»;
cette quantité s'annule pour
e= o et ûf = o;
donc la courbe d' passe par les a8 points doubles de K^. Elle
s'annule aussi pour
donc d' touche K^ aux 8 points de contact des tangentes communes à K^ et à K^.
2° Considérons les 8 tangentes communes à K^ et à K''; ces droites se coupent en a8 points. Pour chacun de ces points, les
équations
(a, 6, c, c/,«JX, |i)*=o et
(A,B,GJX,,i)2=o
ont deux racines communes, qu'on peut supposer égales respecti-
aa4 OKOXÉTRIE.
veinent à zéro et à l'infini, ce qui revient à poser
a = o, e = Of A = o, C = o;
I s'annule dans cette hypothèse; donc la courbe d* passe par les points de rencontre des 8 tangentes communes. De là résulte la proposition suivante :
Théorème. — Étant données une courbe de quatrième classe K* et une courbe de seconde classe K*, on peut construire une courbe du neuvième ordre 5', qui pa^se par les ^8 points doubles de K*, par les 28 points de rencontre des 8 tangentes communes à K' et à K^, et qui touche R* aux points de content de ces tangentes.
4o. Pour calculer Téquation de la courbe d*, nous pourrons toujours supposer que, par une substitution linéaire des variables, on ait mis le polynôme qui, égalé à zéro, donne Téquaiion de la conique K^ sous la forme
par la même substitution, le polynôme qui, égalé à zéro, donne Téqualion de la courbe de quatrième classe K^, deviendra
La valeur de Tinvariant I, relative ausL deux formes précédentes, est, à un facteur numérique près,
si Ton désigne par co le déterminant de la substitution employée, on aura, en vertu de la propriété fondamentale des invariants, à un facteur numérique près,
Téquation de la courbe ^^ sera donc
16. Supposons la conique K' composée du système des deux points M cl M', dont les coordonnées sont respectivement
' r ei -' t'
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. 2a5
Posons, pour un instant,
Uéquatîon de la conique K- (ou de Tensemble des deux points)
esl
( YX -^ X II) (— Y'X H- XV) = o.
Faisons la substitution suivante,
X =X'X'— X{jl', [x = Y'X'— Yjjl',
dont le déterminant est
io = XY~YX'.
Par cette substitution, l'équation des points M, M' devient
io*X[JL = o;
si Féquation mixte de K^ est
F(X,|ji) = o,
cette équation devient, après la transformation,
F(X'X'— Xjji', Y'X'-.Y|ji') = o,
ou, en développant,
[F(X',Y'), *', ...,*, F(X,Y)JX,,ji)]S
4> et ^ désignant deux polynômes entiers en X, \, X', Y', dont on peut se dispenser d'écrire la valeur.
Les quantités ^, (vl>, lib, cd, C étant ainsi déterminées, on en déduit
expression qui, malgré la présence de co en dénominateur, est un poljnome entier en X, Y, X' et Y'.
Si les points donnés M et M' sont deux points doubles de la courbe, comme les équations
représentent respectivement les faisceaux de tangentes menées de
