L. — IL i
2j6 géométrie.
ces points à la courbe, les polynômes F(X, Y) et F(X', Y') sont des carrés parfaits; et, si Ton pose
rtM|iiation de la courbe ^^ devient
i =Oj
ou bien
(<I>\V'W<I>')r*\V'-hW4>')
eu'
V* se décompose ainsi, comme nous le verrons toutàTheure, en une courbe du troisième ordre et une courbe du sixième ordre.
Remarque, — Il est clair que, si la courbe K* a une tangente double pour chacun des points où cette tangente coupe la courbei
le j)oljuomc
csL un carré parfait; on peut donc appliquer la proposition précédente, soit à un couple de ces points, soit à un de ces points et un |)oint double.
i7. On sait, depuis les beaux travaux de Steiner et de M. Hesse, qrTunc courbe de quatrième classe peut être considérée (et cela df soixante-trois façons difl'érenles) comme Tenveloppe de coniques qui lui sont quadruplemcnt tangentes.
Si
A = o et B = o
ï)OiU les équations tangcntielles de deux coniques d'un de ces groupes, l'équation de la courbe K* peut se mettre sous la forme
AH = es cil désignant par
l'équation d'une troisième conique.
Eu se reportant à ce que j'ai dit au n" 5, on voit immédiatement que c'est aussi la forme de l'équation mixte de la courbe, si l'on
suppose que
soient les équations mixtes de trois coniques. Soient respectivement
( '^) olqX* -+- 'X Po X|Ji -h Yo V-^ = o,
(3) AoX*-4-'JiBoX;jL-f- Go[x'= o
ces équations mixtes.
Li^équation mixte de Ja courbe de quatrième classe K* sera
/,. \ (aoX*-+-'2^>oX[JH-Co[i')(aoX»-h'2PoXHi-h Yo(A^)
^^^ \ =(AoX»H-2BoXîx-hGo[JL«)';
ou bien encore, si l'on pose
aX* -+- 2^X[x -f- cjjL* = («oX'-f- 26oXfJi H- Cofi*)
-f- 2 p ( Ao Xî -^ 2 Bo XfjL -f- Go [1* ) -+-pî(aoX«H-2poXiJi-hYoH^*),
aX* -+-2pXfji -h YjJi* = (aoX--H 26oX[A-h Co[jl')
-^20(AoX2-^-2BoXîJL-hGoHL2),
-+- 02(aoX2-h 2poX[JL H- YoHi'),
AX«-h2BXîJL-i- G[jl'= (aoX2-h2 6oXtjn-Co[JL')
-f- (p -f. 0) (AoX*H- 2BoXîJL H- Go [!*)
-^ pO ( OLo X* -f- 2 po Xjx -+- Yo (A* ),
0 el p désignant deux paramètres variables arbitraires,
(aX»-+-a^»Xfi-+-c|ji«)(aX«-h2?X|ji-hYp.») = (AX«-H2BX|x4-GîJL»)».
Les équations
(5) aX*H- 2 6XfJL-i- cfjL*= o
et
( 6 ) aX* -f- 2 pX|x H- yk' = »
représentent deux quelconques des coniques du groupe quadruplement tangentes à K^ ; les 8 tangentes aux 8 points de contact des deux coniques touchent une troisième conique, dont l'équation est
(7) AX«-+- 2BX{JL -+- G{JL« = o.
238 OÉOXÉTRIE.
On peut donner à p six valeurs telles que la conique représentée par l'équalion (i) se décompose en un système de a points; ces points sont évidemment des points doubles de la courbe, et Toa obtient ainsi les 12 points doubles qui appartiennent au groupe considtTé.
48. Ce qui précède peut être présenté d'une façon plus nette en employant les considérations exposées par M. Âronhold dans son Mémoire Sur les courbes du quatrième ordre (*).
On sait qu'en général trois courbes de seconde classe quelconques peuvent être considérées comme les polaires de trois droites du plan par rapport à une certaine courbe de troisième classe.
Les courbes déterminées par les équations (1), (2) et (3) sont ainsi les polaires de trois droites relativement à une courbe de troisième classe bien déterminée K^ (2).
Soient
p = O TÏJ = o, I* = o
les équations de ces droites.
La conique déterminée par Féq nation (5) est la polaire de la
droite
/> -+- 2 0 1* H- p'tïj = o;
toutes les droites déterminées par cette équation, lorsqu'on y fait varier p, enveloppent une conique C^ dont l'équation est
Do là les conséquences suivantes :
i" Toute droite tangente à la conique C^ a pour polaire, par rapport à K^, une conique quadruplement tangente à K* et appartenant au groupe considéré.
2" Si l'on considère deux droites tangentes à C", leurs coniques polaires sont quadruplement tangentes à K^ ; les 8 tangentes menées aux points de contacL touchent une même conique, qui
( ' ) Comptes rendus mensuels de r Académie de Berlin, juin 18G4. ( - ) Voir Heumite : Sur le résultant de trois /ormes quadratiques ternaires {Journal de C relie, t. 57).
est la polaire de la corde joignant les points où les droites touchent C*.
3° Les six couples de points doubles appartenant au groupe sont les coniques polaires des tangentes communes à C^ et à la hessienne de K'.
49. Je vais maintenant démontrer que, si la conique K^ «st une
des coniques données par l'équation (7), en d'autres termes, si
cette conique est la polaire d'une droite du plan par rapport à K',
la courbe 5* se décompose en une courbe du troisième ordre et
une courbe du sixième ordre.
A cette effet, posons
