SUR LES COURBES PLANES ALGÉBRIQUES

des branches de. la courbe qui passent par chacun de ces deux points. Les faisceaux de tangentes menées a la courbe par les points I et J formeront deux groupes bien distincts. Le premier groupe, composé des tangentes qui touchent la courbe en un point autre que les ombilics, fournira (u. — 21) fovers réels ordinaires, entièrement analogues à ceux dont nous avons parlé ci-dessus. L'autre groupe, formé des tangentes ayant leur point de conlact en un des points I et J sur la droite de Tiiifini, fournira /foyers réels que Ton doit considérer comme doubles et que nous appellerons foyers singuliers.

Les foyers ordinaires et les foyers singuliers jouent le plus souvent un rôle très dilférent dans la Géométrie des courbes planes. Les courbes du quatrième ordre, ayant pour points doubles à Tinfini les points I et J et étudiées par M. Moutard sous le nom à^anatlagmatiques du quatrième ordre, nous offrent un exemple simple de ces deux espèces de foyers et de leur rôle divers. On sait que ces courbes peuvent être considérées de quatre manières différentes comme l'enveloppe de cercles coupant orthogonalement un cercle directeur fixe et ayant leurs centres sur une conique. Une anallagmatique a deux foyers singuliers réels, qui sont les deux foyers réels communs aux quatre coniques qui peuvent servir à la description de la courbe, et seize foyers ordinaires, dont quatre réels, situés respectivement quatre par quatre sur les quatre cercles directeurs correspondant aux quatre coniques homofocales déjà mentionnées.

Dans tout ce qui suit nous supposerons essentiellement que les courbes considérées ne passent pas par les points I et J, et par conséquent qu'elles n'ont pas de foyers singuliers.

De nos théorèmes généraux il siTa d'ailleurs facile, dans chaque cas, de déduire les théorèmes particuliers qui doivent leur être substitués lors(|ue la courbe a des loyers sin*^uliers.

Pour éviter des répétitions inutiles, dans tous les théorèmes énoncés ci-dessous nous conviendrons de désigner conslamnicnl par n et par ijl le degré et la classe des courbes considérées.

11. Soity(x, ^) = o Téquation d'une courhe plane algébrique, et soit M un point de son plan dont les coordonnées soient Ç et r^ ; la valeur de la fonction /(x,^), quand on y substitue les

coordonnées Ç et r^ du point M, savoir /"(Ç, r,), ne dépend que de la position du point M par rapport à la courbe. Elle est nulle pour tous les points de la courbe, qui dans son plan sépare les régions où cetle fonction a une valeur positive des régions où elle a une valeur négative. Dans les théorèmes qui suivent, nous ne considérerons que sa valeur absolue. Nous l'appellerons la puissance du point M relativement à la courbe, en nous servant d'une dénomination d{\jîi employée par Steiner pour le cercle.

La puissance d'un point n'est jusqu'à présent définie qu'à une constante arbitraire près; nous achèverons de la déterminer au moven du premier des théorèmes suivants :

Théorème I. — Si par un point M, pris dans le plan d'une courbe plane, on mène un cercle quelconque, le produit des distances de ce point aux 2/1 points dUntersection de ce cercle et de la courbe est égal à la puissance du point M par rapport â la courbe, multipliée par la n^^'"'' puissance du rayon.

On peut supposer, dans ce throrème, que le cercle se réduise à une droite quelconque passant parle point M et à la droite de l'infini ; on obtient ainsi un théorème connu dont on déduit facilement les théorèmes de Newton et de Carnot. Nous n'insisterons pas sur ces (aciles déductions, non plus que sur le cas où le point M se

trouve sur la courbe elle-même.

Théorème II. — Si un cercle est tracé dans le plan d'une courbe plane^ la demi-somme des angles que font avec une direction fixe arbitraire les in rayons du cercle aboutissant aux points d'intersection, est égale, à un multiple près de ir, à la somme des angles que font les n asymptotes avec cette même direction,

Uclativement aux coniques, le théorème précédent se réduit à cette propriété bien connue : quand un cercle coupe une conique, les bissectrices 'des angles formés par les cordes communes sont parallèles aux axes.

Théorème III. — Si par un point M, pris dans le plan d'une courbe, on mène les \t.-{- n droites qui la coupent sous un angle donné V, le produit de toutes les longueurs comprises entre le point M et les pieds de ces droites est égal au produit des