SUR LES COURBES PLANES ALGEBRIQUES

distances du point M aux \l foyers réels de la courbe, multiplié par la puissance du point M, le tout divisé par (2sinV)''.

Le produit considéré devienl évidemment minimum, quand les droites sont normales à la courbe; en d'autres termes, quand sinV = 1 .

On a dans ce cas le théorème suivant :

Théorème IV. — Si par un point M, pris dans le plan d'une courbe, on mène les [\l-\- n) normales à la courbe, le produit des longueurs comprises entre le point M et les pieds des normales est égal au produit des distances du point M aux u, foyers réels, multiplié par la puissance du point M, le tout divisé par 2".

Lorsque dans le théorème III on suppose V = o, on obtient pour le produit des {^-\- n) longueurs une valeur infinie; ce qui doit être, car le groupe des droites passant par le point M et rencontrant la courbe sous un angle nul comprend, outre les [jl tangentes passant par ce point, les n parallèles aux asymptotes. Le produit des tangentes est donné par le théorème suivant :

Théorème V. — Si par un point M, pris dans le plan d'une courbe, on mène les tangentes à cette courbe, le produit des longueurs comprises sur les tangentes entre le point M et les points de contact est égal au produit des distances du point M aux '^foyers réels, multiplié par la puissance du point M, le tout divisé par 2" et par le produit des distances de ce point aux asymptotes de la courbe.

Des théorèmes IV et V on déduit la proposition suivante :

Théorème VI. — Si par un point Mépris dans le plan d'une courbe, on mène les tangentes et les normales à cette courbe y le produit des longueurs comprises sur les tangentes entre le point M et les points de contact, multiplié par le produit des distances de ce point aux asymptotes, est égal au produit des longueurs comprises entre le point M et les pieds des normales.

Théorème VIL — Par un point M, pris dans le plan d'une courbe plane, menons les u.-\- n droites qui la coupent sous un angle donné V. Soient X|, Xo, . . ., X/i+ji l^s angles que font ces

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droites avec un axe fixe arbitraire ; soient f\^ fit -- -^ f^ l^s angles que font avec le même axe les droites joignant le. point M aux [jl foyers réels ^ e^ si» Ç21 • • •? s» '^* angles de cet axe avec les asymptotes de la coui'be. Tous ces angles sont reliés entre eux par la relation suivante, qui doit être vérifiée à un multiple près de iz.

-»-nV.

liemarque, — Le second membre de Téquation précédente ne dépendant que de l'angle V et de Ja position relative du point M et des foyers de la courbe, la propriété exprimée par celte équation constitue une propriété générale des courbes de même classe ayant les mêmes foyers.

Si, dans le théorème précédent, on suppose V = o, les angles des asymptotes avec Taxe fixe disparaissent d'eux-mêmes de la relation donnée ci-dessus, et Ton obtient le théorème suivant :

Théorème VIII. — Si par un point M, pris dans le plan d'une courbe, on mène les tangentes à cette courbe, la somme des angles que font ces tangentes avec une direction fixe arbitraire est égale à la somme des angles que font avec cette même direction les droites joignant le point M aux foyers réels de la courbe.

Remarque. — Relativement aux coniques, celle proposition donne ce théorème bien connu de M. Poncelet : Les tangentes menées d'un point à une conique sont également inch'nées sur les droites joignant ce point aux foyers.

La considération des courbes tracées sur la sphère conduit à des théorèmes généraux analogues aux théorèmes énoncés dans celle Note relativement aux courbes planes. Nous nous contenterons ici de cette mention, sans entrer dans de plus longs détails a ce sujet.

Lorsqu'une courbe est tangente à la droite <le l'infini, elle admet pour foyers les divers points où elle la touche; dans Tapplicalion des théorèmes énoncés ci-dessus, il est nécessaire de tenir compte de ces foyers situés à Tinfini.