ABC
abc
est un invariant des trois formes (5), (6) et (7); on a donc
Br » • ».
On a do même
= — eo»
ABC abc
— S's=toJix"— S»)
d'où
et
fl'c'— ^»'«=cD»(ac — ô«);
= Aîio«[r>B6 — C« — A0H27 — ,î2i — (-jBS
Remplaçons, dans Téquation (8), co, B\ elle deviendra, toutes réductions faites.
-Ca — AY)(ac — ô«)].
. . par leurs valeurs ;
x[viB6 — Cfl — Ao.îtav— îî.— v-^Bp — Ca--AY)«(ac— 6«)] = o,
oi. Avant d'examiner la relation précédente, il est bon de revenir sur quelques points de la théorie des sections coniques. Considérons trois coniques
/>, nt. P, et soient, comme ci-dessus,
Vrt, /», ivX. u^*= o, , *« ?• tI''* ;"*^*= ^*' (A, B. CjX, }i)'= O leurs équations mixtes.
Les invariants fondamentaux de ce système de formes sont : 1^ Lies discriminants
ac - 6«, «Y — P«, AC — B»,
qui y égalés à zéro, donnent les équations cartésiennes des coniques ; là? Les invariants simultanés quadratiques
AY-*-Ca — aBp, Xc-hCa — iBb^ ay-hcv. — 26(5.
L^ équation
AYH-Ca — 9.B3 = o
représente une conique; de chacun des points de cette courbe les tangentes menées aux deux coniques P et tïj forment un faisceau harmonique.
L'équation des tangentes communes à P et à tn s'obtient en égalant à zéro le résultant des formes
(a,?,YÏX;jx)» et (A, B, CJX, jx)».
Diaprés un beau théorème de M. Boole, cette équation peut se mettre sous la forme
(AY-hCa — 9.BP)«— 4(aY--pî)(AG — B«) = o.
Les invariants Ac + Ca — 2B6 et ay + ca — 26^ ont une signification analogue relativement aux systèmes de coniques P, p
3** L'invariant gauche G, dont la valeur est
L^ équation
représente une courbe de troisième ordre; c'est évidemment le lien des points tels que les tangentes menées de ces points aux trois coniques données forment un faisceau en involution.
Il est clair qu'on peut remplacer une de ces coniques par une quelconque des courbes dont l'équation est
p( A, B, CÏX, fx)»H- 6(a, b, c JX, hl)«-+- ?(a, ?, yJX, ^i )« = o, p, 8 et © désignant des constantes arbitraires.
î -■ Cir'XïTRZT
^.•?i!v kouiÏ*: joui! JuD crand nombre de propriétés remarqna- Mr* -j'il -!...• r:t «Jue». f'Our la |jlu{<art. à M. Cajley.
-ti. D'dprrs le ré^iilut auquel je suis par\*enu dans les n^ 49 »ii y^K '*n \oit que. dans le cas cod sidéré, la courbe d* se décom- |..i4«- • n np<? c -iirhe de Iroiïirme ordre Q*, dont Féquation est
et uijf courlie Je sixième ordre i^*. donl l'équation est
. ,1:/, — r./ — \r î. 7- i: — . »?. i — Os — A-')»rac— A«)r=o.
0'{. Kiudions d'dkord la courbe Q' : pour abréger le discours, j'fiiij»]" lierai les expressions suivantes :
J\4{<|»eller<ji ronn/ues F- les ililFêrentes coniques qui sont les polaire^ des droites du plan relativement à la courbe de troisième clas'^e K': le< coniques F- forment un réseau.
J appollt'r.ii conû/ue> G- les coniques qui sont les polaires, par rap[)Oil à k'. des droites lani:enles à C-; ces coniques G' sont des positions particulit-res des coniques F-, chacune d'elles est quadruplenicnt tangente à K^.
lJ'a|)rês ce que j'ai dit plus liant, on voit que la courbe Q* peut être définie par les propriétés suivantes :
.SV f'on prenez fl'unr far ou quelconque trois coniques F*, le //>// f/f 'S points d'où l'on voit ces coniques suivant un faisceau en in solution est la courbe i^^
fêtant don m'es deux coniques quelconques F^, les points de rencontre des tangentes communes à ces deux courbes sont situés sur (^^.
Etant donnée une conique quelconque G-, les quatre £an^ genfes aux points oit cette courbe touche K* se coupent en 6 points situés sur Q**.
La courbe <^^ est le lieu des couples de points qui font partie des coniques F-.
Elle passe par les ii points doubles de K* qui appartiennent au groupe considéré.
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. a33
La courbe Q^ est la corrélative de la courbe désignée par G dans le Mémoire de Steiner.
S4. La courbe Q', qui passe par les 12 points doubles du groupe, est complètement déterminée et ne dépend pas de la conique K*.
Il n'en est pas de même de la courbe Q*.
La courbe 5*, qui se compose des courbes Q' et Q°, devant passer par les 28 points doubles de la courbe et Q' ne contenant que 1 2 de ces points, les 16 autres sont situés sur Q^.
L^équation de cette courbe peut se mettre sous la forme suivante :
[(2B6 — Ca— Ac)«— 4(AG — B«)(ac-^»«)](aY — P') = [(2B p — Ga — Ay)«— 4( AC — B») (av — ?«)] {ac — />«).
D^où, si l'on se reporte à ce que j'ai dit plus haut (n^* 51), les conclusions suivantes, qui concordent d'ailleurs avec ce qui a été établi généralement pour la courbe ^^ :
Théorème. — Étant données deux coniques quelconques p et ra^ quadruple ment tangentes à K* et appartenant au groupe considéré, les quatre tangentes aux points de contact de p rencontrent les quatre tangentes aux points de contact de es en 16 points; ces 16 points et les 16 points doubles, qui n'appartiennent pas au groupe, sont situés sur une même courbe du sixième ordre, qui passe en outre par les 4 points d^ intersection des coniques p et m et touche R* aux 8 points où cette courbe est touchée par les coniques,
