Reprenons l'équation de Q

(aB^* — Ac — Ca)»(aY— ^«) = (2B ^ — A^ — Ca)î(ac — ^»î),

et supposons que chacune des coniques p et vs se réduise à un couple de points (qui seront des points doubles du groupe).

On aura alors

V étant l'équation de la droite qui joint les deux points en lesquels

a 3.^1 GKO.MKTniK.

se résout la conique rv; on aura de même et Fëquation précédente deviendra

la courbe Q^ se décompose, dans ce cas, en deux courbes du troisième ordre analogues à Q' et dont les équations sont

(21B6 — Crt — Ac)V-h(2B? — C« — Ay)W = o, (2B^» — Ca — Ac)V-(2Bp — G« — Ay)W = o.

56. Soient d et d^ un couple quelconque de points doubles d'une courbe de quatrième classe K^ ; ces points définissent un groupe de 12 points doubles (G), dont ils font eux-mêmes partie, et les 12 points du groupe sont situés sur une des courbes du troisième ordre de Steiner.

Soit A un troisième point double de la courbe; je supposerai^ pour simplifier la démonstration, que d et d' soient respective ment les points situés à Finfini sur Taxe des x et sur l'axe des y et que A soit Torigine des coordonnées.

Gela posé, Torigine étant un point double, en faisant dani l'équation mixte de K*

X = o et j/- = o,

le résultat doit être un carré parfait; cette équation est donc de h forme

([la? — X7)^-+-4(aX-+-P[x^((jia? — Xj')»-f-6(aX«-+-2ÔXfi-»-c(x«)(fxa? — X/)« -^ 4( AX»-+- 3BXV -+- 3GX|ji«-^ D jx») (lia: — Xj^)«

(PX«-+-2QXix-+-R(x»)« = o,

Vx^-\- zÇ^xy 4- Ky^= o étant Téquation des tangentes menées à la courbe par le point A.

Les points situés à l'infini sur Taxe des ^ et sur l'axe des jr étant des points doubles de la courbe, les coefficients de X* et de [jl* dans l'équation précédente sont des carrés parfaits, et l'on peut poser, par exemple,

( ) ^ P' — 4A^-^6ay« — 4a73-h^* = (j^«— 2«j^-+-A)«,

^ R«-f-4Dar-^6ca:»-t-4?a7»-+-a7^=(x»-+.2par-4-A:)»,

d'où, en particulier, on déduit la relation suivante, (lo) PU»— R«/i«=o.

Les coefficients de 4^'!^ ^^ ^^ 4^1^') dans Téquation mixte de K*, sont respectivement

PQ — 3Bj^-+- \x — 3aar^-+- 36^* — Pj^'-I- 3ajr^» — y^x et

RQ-+- 3Ca7 — Dy — Zcxy-i- 3bx^-^ olx^ — 3^x^y ^ x^y.

Il résulte de là, et de ce que j'ai dit plus haur, que Féquation de la courbe Q^ est

X (RQ H- 3 Ca? — Dj^ -^Zcxy -4- 36a7«-+- aar»— 3 ^x^y — x^y) X (PQ —.3 B^ H- Aar — Zaxy ■+■ 3by^— ^y^-^-^oLxy^-^y^x) = o,

et Féquation de Q'

(y*^iifiy-{-h)

X (RQ-+-3Cx — D^ — 3cxx-h36a:«-4-aar»— 3par«/ — 37»^) — (x«-4-îiPa7-4- A:)

x(PQ — 3By-^Xx'-'3axy-^3by^—^x*-^ZaLxy^—y^x) = o,

Cette dernière équation est en apparence du sixième degré; mais, en vertu des relations (9), ce degré s'abaisse au troisième.