DANS LA GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE

Nouvelles Annales de Matfiémaiiques; 1872.

1. — GkNÊHALITKS sir les Sl'RFACES A GÉNÉRATRICES CIBCULAIRES.

1. On snil. clc[)uis les travaux de Poncelet, que tous les cercles trac(^s dans un même plan passent par deux points fixes imaginaires situés sur la droite de Tinlinî. Je désignerai par I et J ces deux points renianjuahles que, dans une Note publiée dans les Comp(rs rr/n/us t/r l^Aratfrmr'r tles Sciences (janvier i865), j'ai proposé de munnier o/nlfiltcs du plan. J'appelle droite isotrope toute droite du plan eonsidéré qui passe par l'un des points I et J; Tenseudde de ees droites forme deux systèmes bien distincts, l'un eonipOM' de droites parallèles entre elles et passant par le point I, l'autre de droitt '^ également parallèles et passant par le point J.

l\(rtoul point d'un plan passent deux droites isotropes de sjstèmes dilVerents, dont l'ensemble l'orme un cercle de rajon nul. Mans un plan réel, toute droite isotrope renferme un point réel et n'en renl'erme évidemment qu'un: c'est le point où elle coupe la droite isotrope qui lui est imairinairement conjuguée (^).

^ M n. No:,* .loraulour. >ur Ii' iiuino sujet, a paru dans le journal LInstitut,

\ .K* »ii* .ju*' »iou\ points < mi: im.i^iua.ri'mcaî «.N*njui:aë>. lo^5^]ue leurs coora.'iitx«^<^. I'ii>*^ p.iv ijpiv»i: u un >\>:cui-* ti\i\f> ro l> quelconque, soat des quan- »,i,* im..^ .,.;..- ,\'.i;vu',u.<. l « p ni roi : e-i ,1 lui-mènie son conjugué.

tV«\ »,-,ni'.- -^oi^i luwiiîijorv' a::.: Ovi.j'.:^Jtis. I"r<que les équaiions de cha- ,„„,. ,i,:.,^ - ,«;s*-.e. *.x-^ ..;i:a:;. :-.> io i a»i:rt^ en changeant le signe du sym-

SUR X.*EMPLOI DES IMAGINAIRES DANS LA GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE. 289

Si, par un point fixe, réel ou imaginaire, on mène divers plans, chacuEi de ces plans conlienl deux droites isotropes passant par le point fixe. Les droites ainsi obtenues sont situées sur un même cône du second degré, que l'on peut aussi considérer comme une sphère de rayon nul ayant pour centre le point fixe et qui jouit de toutes les propriétés de la sphère. Ainsi, par exemple, toute section plane de ce cône est un cercle, et le centre du cercle est le pied de la perpendiculaire abaissée du sommet du cône sur le plan.

Je désignerai sous le nom de cône isotrope le cône ainsi formé par toutes les droites isotropes qui passent par un môme point. Tous les cônes isotropes coupent le plan de l'infini suivant une lucnie conique, commune à toutes les sphères tracées dans Tespace et que l'on peut appeler Y ombilicale.

Par une droite, on peut généralement mener deux plans tangents à l'ombilicale; j'appellerai ces plans plans isotropes. Le couple de plans isotropes, passant par une droite donnée, est coupé par un plan perpendiculaire à cette droite suivant deux droites isotropies. Par une droite isotrope, on ne peut faire passer qu'Hun seul plan isotrope, puisque cette droite coupe le plan de rinfini en un point de l'ombilicale.

2. Ces définitions établies, concevons un point imaginaire de Fespace a, et le point a' qui lui est imaginairement conjugué. Par chacun de ces points passe un cône isotrope; les deux cônes ainsi obtenus se coupent suivant un cercle réel A, dont le plan est perpendiculaire à la droite réelle qui joint les deux points imaginairement conjugués a et a' ; le centre de ce cercle est le point réel O, qui est le milieu du segment aa', et, la distance Oa étant représentée par Ri, son rayon a pour valeur la grandeur réelle R.

Il est clair que les deux points imaginaires a et a' déterminent complètement le cercle A; réciproquement, étant donné le cercle réel A, par ce cercle on ne [)eut faire passer que deux cônes isotropes dont les sommets sont les points a et a'. La position de ce cercle dans l'espace détermine donc complètement ces deux points. Je dirai que le cercle réel A, ainsi déterminé, est le cercle représentatif du couple de points imaginaires a et a', couple que je désignerai par la notation (A); réciproquement, le cercle A,

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déterminé comme précédemment par les deux points a et a', sera désigné par la notation (a, a').

Le cercle A ou (a, a') représente ainsi l'ensemble des deux points imaginaires conjugués a et a'; dans certaines questions, il est nécessaire de pouvoir distinguer ces deux points l'un de l'autre. A cet eflet, on peut imaginer que le cercle A soit décrit dans un certain sens par un point mobile; le sens dans lequel il sera supposé décrit déterminera celui des deux points a et a! dont il sera la représentation. Afin de fixer les idées, supposons que dans un système de coordonnées quelconque, mais d'ailleurs réel, les coordonnées d'un point m soient respectivement

le sens dans lequel on supposera décrit le cercle représentatif du point m sera tel qu'un spectateur, ayant l'œil placé à l'origine des coordonnées, voie le point mobile, décrivant le cercle, se mouvoir dans le sens du mouvement des aiguilles d'une montre ou en sens inverse, suivant que la quantité aa + ôp-j-cy est positive ou négative.

Il est évident d'ailleurs que, si cette quantité a un signe donné pour le point m, elle aura le signe contraire pour le point imaginairement conjugué m', dont les coordonnées sont

ar = a — a t , y — b — ^ /, -g = c — -^i,

3. Dans la plupart des recherches de géométrie, on a à considérer, par couples, des points réels ou qui ne sont pas imaginatrement conjugués. J'étendrai à ce cas les notions établies précédemment. Ainsi, a et é désignant deux points quelconques de l'espace, je désignerai par (^, 6) le cercle qui résulte de l'intersection des cônes isotropes ayant pour sommets ces deux points; ce cercle sera généralement imaginaire et ne deviendra réel que dans le cas, examiné précédemment, où les points considérés sont imaginairemenl conjugués. De même, C désignant un cercle quelconque de l'espace, je dénoterai par le symbole (C) les deux points qui sont les sommets des cônes isotropes passant par ce cercle.

4. Considérons dans l'espace une courbe géométrique quelconque, réelle ou du moins (pour le moment je me restreindrai à

SUR l'emploi des imaginaires dans la oéométrië dans l'espace. a4i

ce cas de beaucoup le plus intéressant) définie par des équations réelles; c'est-à-dire telle que, lorsqu'elle passe par un point imaginaire, elle passe également par le point imaginairement conjugué. Étant donné un cercle réel de Tespace, ce cercle représente un couple de points imaginairement conjugués; et, pour que ces points appartiennent à la courbe donnée, il est nécessaire que le cercle satisfasse à certaines conditions déterminées par la nature de la courbe et dont l'étude forme, pour ainsi dire, un prolongement géométrique de la tbéorie de cette courbe elle-même. Pour éclaircir ces considérations générales et montrer les diverses questions auxquelles elles se rattachent, j'en ferai tout d'abord, et avec quelques détails, l'application aux courbes gauches qui résultent de l'intersection d'une sphère et d'une surface du second ordre, en m'appuyant sur les propriétés connues des surfaces anallagmatiques.

5. M. Moutard a appelé surfaces anallagmatiques du qua^ trième ordre des surfaces qui peuvent être regardées comme l'enveloppe de sphères mobiles qui coupent orthogonalement une sphère fixe, tandis que leurs centres décrivent une surface du second degré; dans tout ce qui suit, je les désignerai simplement sous ie nom de surfaces anallagmatiques; leur degré, qui est, ^" S^néral, le quatrième, peut d'ailleurs s'abaisser au troisième, lorsque la surface lieu des centres des sphères mobiles est un para- "^loide, et même au second, puisque les surfaces du second degré sont comprises dans la famille des surfaces anallagmatiques.

*-*^ définition donnée ci-dessus peut être légèrement modifiée

de la façon suivante. Étant donnés une sphère fixe S et un plan

quelconque P coupant cette sphère suivant un cercle (], on peut,

par ce cercle, faire passer deux cônes isotropes. Soient p et /?' les

sommets de ces cônes; ces deux points, qui, d'après ce que j'ai

ûtlci-dessus, pourraient être représentés par la notation (C), sont

récippQqygg pg^j. rapport à la sphère S; pour abréger le discours,

]C uirai que ces deux points sont associés au plan P et, récipro-

<l^emeiit, que le plan P est le plan associé aux points/? et /?'(*).

^ ) Voir, Bulletin de la Société philomathique (mars 1868), ma Note sur les **ciions circulaires des surfaces anallagmatiques.