L. - II

Cela posé, on peut définir une surface anallagmalique donnée R comme le lieu des points associés, par rapport à une sphère 6xe S, des différents plans que Ton peut mener tangentiellement à une surface du second degré A. L'intersectiou des surfaces S et A est une biquadratique F qui est Tune des cinq focales de la surface; les quatre autres focales correspondent aux quatre modes de génération dont la surface est susceptible (*). En chaque point m de la surface anallagmatique, la normale passe par le point où le plan associé au point m touche la surface A.

Soit G une génératrice rectiligne de cette dernière surface, et soient a, a' les points où cette génératrice s'appuie sur la focale F. On voit facilement que, tandis que le plan mobile qui sert à décrire la surface se déplace le long de la droite G en tournant autour de cette droite, les points associés au plan tangent dans ses diverses positions décrivent un cercle; et ce cercle est précisément Tintersection des deux cônes isotropes ayant pour sommets les points a et a', cercle que nous pouvons désigner par la notation (a, a'). A chaque génératrice rectiligne de A correspond donc une génératrice circulaire de R; et, comme chacun des plans tangents à la surface A passe par une génératrice rectiligne de même système que G, on voit que la surface anallagmatique peut être considérée comme engendrée par les difl'érents cercles correspondant aux génératrices du même système que G. Aux génératrices rectilignes de A, du système différent de celui de G, correspond un autre système de sections circulaires de R; les deux systèmes ainsi obtenus forment un groupe de cercles que, pour plus de clarté, je dirai appartenir au mode de génération défini par la focale F, ou simplement à la focale F. A chacun des quatre autres modes de génération de la surface correspond un autre groupe de cercles situés sur la surface et appartenant à la focale définissant le mode de génération considéré. On peut donc définir, de la façon suivante, les surfaces anallagmatiques au moyen de leurs sections circulaires.

Étant donnée une biquadratique sphérique F, si Ton fait passer par cette courbe une surface du second degré quelconque et si.

Cj Voir, Bulletin de la Société philomathique (janvier 1868), ma Note sur quelques propriétés des surfaces anallaguialiqucs.

SUR l'emploi des imaginaires dans la géométrie dans l'espace. 343

pour chaque génératrice rectîligne d^un svslème donné de celle surface, on construit le cercle qui résulte de rinlerseclion des cônes isotropes, ayant pour sommets les points où celle génératrice s'appuie sur la courbe, le lieu des cercles ainsi obtenus est une surface anallagmatique ayant F pour focale; et le système formé par ces cercles appartient à celte focale.

6. Dans ce qui précède, je n'ai fait aucune hypothèse sur la nature de la surface A, non plus que sur sa position relative par rapport à la sphère S. Les génératrices recti lignes de A peuvent être imaginaires, ou bien, étant réelles, elles peuvent traverser la sphère et la couper en deux points réels. Dans ces deux cas, les sections circulaires correspondantes de Tanallagmatique sont imaginaires. Pour qu'un cercle C, correspondant à une génératrice rectiligne, soit réel, il faut et il suffit évidemment que celle génératrice soit réelle et extérieure à la sphère; elle coupe alors celte sphère en deux points imaginairement conjugués de la focale F, et le cercle C est ce que j'ai appelé le cercle représentatif de ces deux points.

On peut donc énoncer la proposition suivante :

Lorsquiun système de sections circulaires d^une surface anallagmatique, appartenant à une focale F de cette surface, est réely les points imaginaires représentés par ces cercles sont situés sur la courbe F.

Si l'on imagine toutes les surfaces anallagmaliques, qui ont pour focale une biquadratique sphérique donnée F, et toutes les sections circulaires réelles de ces surfaces qui appartiennent à F, on obtiendra les cercles représentatifs de tous les points imaginaires de la courbe F. En effet, si un cercle C représente uu point imaginaire de F, la droite réelle qui joint les points imaginaires (C), détermine avec la courbe F un hyperboloïde à une nappe, et cet hyperboloïde détermine une surface anallagmatique ayant F pour focale et passant par le cercle C. D'où la conclusion suivante :

Pour qu'un cercle réel représente un couple de points imaginaires situés sur une biquadratique sphérique donnée F, // faut et il sujfit que ce cercle soit situé sur une surface anal-

.'l OKOMKTHIK

IngmntiqHP nyant V pour focale vt qu'il appartienne au mode (Ir riescrtpiion caractérisé par cette focale.

7. Lu façon dont j^ai défini au n° o les surfaces anallagmatiqoes, au niojen de leurs sections circulaires, sVlend d ^elle-même au cas où ces surfaces ont un plan de symétrie; dans ce cas, l'une des sphères principales se réduit à un plan, ainsi que la surface da second degré correspondante, et les définitions que j^aî données précédemment, la détinition comme enveloppes de sphères el la défmition par points, devienneni illusoires. Mais, avant d'aborder ce sujet, il est nécessaire d'exposer quelques considérations très simples sur la transformation des figures par rayons vecteurs réciproques.

Ktant donnés un point quelconque a, réel ou imaginaire, el le cône isotrope ayant ce point pour sommet, il est clair que, par une transformation (|uelconque par rayons vecteurs réciproques, ce cône isotrope se transforme en un autre cône isotrope ayant pour sommet le point qui correspond au point a. Si donc on a deux points quelconques a et 6, au cercle [a^ b) correspondra après la transformation le cercle (a, ji), a et [i <lésignant les points qui correspondent aux points a et 6.

Imaginons une surface anallagmatique comme le lieu des différents cercles (a, a'), (&, i'), (r, c'), . . . déterminés par les points où les génératrices d*une surface du second ordre aa', bb'^ cd ^ . . . s'appuient sur une hiquadratique sphérique F, et effectuons sur cette figure une transformation par rayons vecteurs réciproques. La courbe F se transformera en une autre biquadratique sphérique 4>; sur cette courbe 4>, aux points a, a', 6, 6', ... correspondront des points a, a', p, P', . . . , et la surface transfoi*niée de la surface donnée sera le lieu des cercles (a, a'), (j5, ^'), .... D'où l'on peut, en passant, tirer cette conséquence, que les droites aa', ^3', yV, . . . sont, comme les droites aa\ bh\ cc\ . . ., les génératrices d'une même surface du second ordre.

(Considérons maintenant une biquadratique sphérique F et une surface du second degré (pielconque A, passant par celte courbe. Toutes les génératrices d'un même système de A, telles que aa', peuvent être obtenues en choisissant arbitrairement une génératrice ss^ de l'autre système et en menant des plans par cette der-

SUR l'emploi des imaginaires dans la okomktrie dans l'espace. 24

oière génératrice. Ces divers plans couperont la sphère suivant des cercles passant par les deux points tixes s et s' et chacun de ces cercles coupera la courbe F en deux points variables a et a silués sur une nriéme génératrice de A; le lieu des cercles (a, a') est Panallagmatique définie par la surface A et la focale F; on peut donc énoncer la proposition suivante :

Si\ par deux points fixes s et s\ d'une bif/uadratùiue sphériçue F, on mène un cercle variable rencontrant la courbe F atiJtr deux points a et a', le lieu des cercles (a, a') est une suryîtïïCf* cincillcigmatique ayant V pour focale,

Xransformons maintenant la figure précédente en prenant le pôle de IransCormation sur la sphère qui contient la courbe F; la surface anallagmatique donnée se transforme en une surface anallagmaliqtie a^ant pour plan de symétrie le plan qui correspond à la sphère. La focale F se transforme en une anallagmatique plane 4> sur laquelle se trouvent les deux points a* et a*' correspondant aux points 5 et /; et Ton obtient la proposition suivante :

Si, par deux points fixes o- et t dUine anallagmatique plane 4>, on mène un cercle variable coupant la courbe 4> aux points a et a', le lieu des cercles (a, a') est une surf ace anallagmatique ayant pour plan de symétrie le plan de la focale 4>.

Le second système de sections circulaires appartenant à la focale ^ s'obtiendrait facilement: en effet, étant mené par a* et par ^ un cercle quelconque coupant la focale en deux points a et ol' \ si, par ces deux points, on mène un cercle variable rencontrant 4 aux points p et p', les différents cercles tels que (p, p') constitueront ce second système de sections circulaires.

Les plans des différents cercles tels que (a, a') ont pour traces, sur le plan de la focale 4>, les perpendiculaires élevées sur les segments aa' en leurs points milieux. Toutes ces perpendiculaires, il est facile de le voir, enveloppent une conique ayant pour foyers les foyers singuliers deTanallagmatique ^ ('). D'où Ton peut conclure que, quand une série de surfaces anallagmatiqucs a pour

( * ) Voir, dans les Comptes rendus de l'Académie des Sciences ( janvi er i863), ma Note intitulée : Théorèmes généraux sur les courbes, etc.

2^6 OÉOMÉTRIE.

locale eommune une anallagmatique plane, les traces des cvlindre enveloppés par les plans des cercles de ces surfaces appartenant à cette focale, sur le plan de symétrie, sont des coniques homof( cales ayant pour foyers communs les foyers singuliers de la focale

8. La proposition précédente n^est, du reste, qu'un cas particulier d'un théorème relatif aux anallagmatiques eu général etqu< l'on peut établir très simplement.

Considérons une surface anallagmatique quelconque R, ayani pour focale une biquadratique sphérique F. Les plans des diversa cercles de la surface, appartenant à cette focale, enveloppent un cône ayant pour sommet le centre de la sphère S, sur laquelle esL située la focale; et ces plans sont perpendiculaires aux diverses génératrices de la surface du second degré A passant par la focale qui détermine la surface R. Pour trouver les droites focales de ce cône, je rappellerai que ces droites sont les intersections des divers plans isotropes qu'on peut lui mener tangentiellement. Or, les perpendiculaires à un plan isotrope touchant V ombilicale en un point donné o) sont les diverses droites isotropes passant parce point correspondant aux plans isotropes tangents au cône, donc des génératrices isotropes de A, et réciproquement. Une génératrice isotrope de A doit percer le plan de l'infini en un point de l'ombilicale, et aussi en un point de la trace de la surface A sur le même plan. Soient Û l'ombilicale et a, 6, c, ^les quatre points où celte courbe rencontre la focale F; la surface A passant par celte focale, sa courbe d'intersection avec le plan de Tinfini est une conique passant par les points a, 6, c et d^ et il est clair que les génératrices isotropes de A sont les huit génératrices passant par ces quatre points. Les traces, sur le plan de l'infini, des quatre plans qui leur sont perpendiculaires et qui passent par le cenire de la sphère, sont les quatre droites menées tangentiellement à Tombilicale par les quatre points a, b, c et d; les focales du cône sont donc les six droites conjuguées deux à deux qui joignent le centre de la sphère aux divers points d'intersection p. q, r, 5, t, u des quatre tangentes. On voit que ces focales sont complètement déterminées parla focale F et ne dépendent en aucune façon de la surface particulière A. On peut donc énoncer cotte proposition :

Si Ion considère une série de sur/aces anallagmatiques

SUR l'emploi des IMAaiNAIRES DANS LA GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE. 34?

^oniofocaleSy et si, pour chacune de ces surfaces, on construit £^ cône enveloppe des cercles appartenant à Vune de ses ^f^cales, tous les cônes ainsi obtenus sont homofocaux ,

J'ajouterai que les focales de ces cônes ^onl les focales singu-

V. îères des cônes ajanl pour base la focale de la surface anallagina-

9:.ique considérée, et, pour sommet, le centre de la sphère sur

laquelle cette courbe est située. Mais, pour abréger, je laisse de

•<rôté la démonstration de ce point de détail (*).

9. Je reviens maintenant au mode de description des surfaces ^nallagmatiques à plan de symétrie, donné au n'* 7, pour montrer comment il s'applique aux surfaces du second ordre. Ces dernières s'obtiennent lorsque la focale, qui, en général, est une courbe anallagmatique plane, se réduit à une conique. Soit donc une conique quelconque C réelle (ou du moins ayant une équation réelle) et a, ce deux points fixes pris sur cette conique. Par ces deux points, menons un cercle quelconque coupant la conique en a et en a'; d'après ce qui a été dit ci-dessus, le lieu des cercles tels que (a, a') est une surface du second ordre ayant pour focale C. D'après un théorème élémentaire bien connu, toutes les droites telles que aa' ont une direction fixe. On peut donc énoncer la proposition suivante qu'il serait très simple, d'ailleurs, d'établir directement :

Si Con mène y dans le pian d^une conique, une série de droites parallèles à une direction fixe D, en désignant par a et a' les deux points d* intersection de la conique avec une quelconque de ces droites, le lieu des cercles tels que (a, a') est une surface du second ordre ayant pour focale la conique donnée.

Supposons que C soit une ellipse; imaginons toutes les droites réelles parallèles à une droite fixe D et exlérieures à Tellipse; chacune de ces droites rencontre l'ellipse en deux points imagi-

( * ) Voir, dans ie Bulletin de la Société philomathique, le n* 4 de tua Commuuication du aS mar» 1807 : Sur les courbes résultant de l'intersection d'une spfière et d'une surface du second degré.

v'i^ Ui;OMKTUIK.

nairement conjugués, représentés par un cercle réel; tous les cercles réels ainsi obtenus, quand la droite se déplace, conslitoenl l'un (les systèmes de sections circulaires d^un hyperboloïde à de ux nappes ayant pour focale Tellipse donnée. Si le système des droit^es considéré était parallèle à une droite D' faisant avec le grand ame de Tellipse un angle supplémentaire de Tangle que fait D avec <:e même axe, les cercles représentatifs des points d^inlersection <i^ rellipseavec ces diverses droites constitueraient le second syslèc*»© de sections circulaires de rhyperboloïde mentionné ci-dessus.

Si nous imaginons Tinfinité dMiyperboloïdes à deux nappes q^* ont pour focale Tellipsc C, leurs diverses sections circulai*"** représenteront tous les points imaginaires situés sur cette ellip^*' D'où Ton peut conclure le théorème suivant :

Pour qii^un cercle réel, donné flans V espace, représente couple de points imaf^i nairement conjugués^ situés sur t^ ellipse donnée^ il faut et il suffit que ce cercle soit une sect circulaire d^ un hyperboloïde à deux nappes ayant cette elU/^ jtour focale.

De même :

Pour quUtn cercle réel, donné dans Vespace, représente t^ couple de points imaginairement conjugués, situés sur u^ hyperbole donnée, il faut et il suffit que ce cercle soit une se^' tion circulaire dUui ellipsoïde ayant cette hyperbole poU^ focale.

10. 11 existe, relativement au système de deux cercles situés sur une même sphère, une propriété très simple, qui a de fréquentes applications dans la géométrie de la sphère et dans la théorie des surfaces anallagmatiques. Je vais Texposer brièvement, en en sappriinant la démonstration, d'ailleurs très facile à suppléer.

Soient deux cercles C et D situés sur une même sphère, et par con>équenl se coupant en deux points. Le cercle C représente deux points de l'espace c et c', qui sont réciproques par rapport à la sphère et que Ton pourrait désigner par la notation (C); le cercle D représente de même deux points réciproques d et d!. Les quatre points c, c\ d et d' sont d'ailleurs dans un même plan passant par le centre de la sphère. Cela posé, par les deux cercles

SUR l'emploi des imaginaires dans la okomktrie dans l'espace. 249

donnés, on peut faire passer deux cônes, et les sommets de ces crânes sont les deux points de rencontre respectifs des droites cd t d <t et des droites cd et c'rf.

Supposons les cercles C et D réels; supposons-les, en outre, Mécrils dans un sens déterminé, en sorte que chacun d'eux repré- » ente un point imaginaire et un seul^ le point c, par exemple, tant représenté par le cercle C et le point d par le cercle D. La roîle imaginaireccf est imaginairement conjuguée à la droite d d \ ?es deux droites étant dans le même plan se coupent en un point éel, que l'on peut définir comme étant le point réel situé sur cd\ l, d'après ce que j'ai dit plus haut, ce point est le sommet d'un rône passant par C et D. Mais ici l'on peut ajouter qu'un spectateur, dont l'œil serait placé au sommet du cône, verrait les ^.ercles C et D décrits en sens inverse; en sorte que, si le mobile -jui est censé décrire l'un d'eux lui paraît se mouvoir dans le sens es aiguilles d'une montre, le mobile qui est supposé décrire l'autre l^ui paraîtra se mouvoir dans l'autre sens.

Celte dernière remarque est souvent utile pour fixer le sens que M'on doit affecter à un cercle représentant un point imaginaire.

Considérons maintenant une surface anallagmalique R, définie j)ar la surface du second degré A et la focale F située sur cette surface, et les deux systèmes de génératrices circulaires de l'anal- Jagmatique appartenant à cette focale. Soit C un cercle fixe de l'un de ces systèmes, représentant deux points c et d de la focale ; soit D un cercle quelconque de l'autre système, représentant deux points d et d de la focale. Les cercles C et D sont situés sur une même sphère, et l'on sait d'ailleurs que les droites cd et dd^ sont deux génératrices, de systèmes différents, de la surface A. D'après ce qui a été dit plus haut, les sommets des cônes qui passent par les cercles C et D sont les deux points r et 5, où se coupent respectivement les droites cdE et d d d'une part, les droites cd et d d* d'autre part. Le lieu décrit par les sommets de ces cônes, lorsque, le cercle C étant fixe, le cercle D se déplace sur la surface R, est donc l'intersection des deux cônes ayant pour base la focale F et pour sommets les points c et d » Ces cônes sont du troisième degré; leur intersection, qui est du neuvième degré, se compose d'abord de la génératrice cd ^ de la focale et du lieu cherché; ce dernier est donc du quatrième ordre.

aSo GÉOMÉTRIE.

1)^011 Ton peut conclure la proposition suivante :

Étant pris y sur une surface anallagmatique, un cercle quelconque appartenant à une focale F de cette surface y par ce cercle et par un cercle quelconque D du second système circulaire appartenant à cette focale, on peut faire passer deux cônes; le lieu décrit par le sommet de ces cônes, lorsque, le cercle C étant fixe, le cercle I) se déplace sur la surface, est une courbe du quatrième ordre faisant partie de V intersection des deux cônes, qui ont pour base commune la focale F et pour sommets les deux points de cette focale que représente le cercle C.

H. Dans ce qui précède, j'ai montré comment on peul déterminer les conditions géométriques auxquelles un cercle doit satisfaire pour représenter un couple de points situés sur une biquadratique sphérique donnée, en groupant deux à deux les divers points de cette courbe de façon qu'à l'ensemble de tous les couples de points corresponde l'ensemble des génératrices circulaires d'une surface anallagmatique. Chaque mode de groupement est défini par une surface du second ordre, de telle sorte que deux points quelconques de la courbe, qui se correspondent, se trouvent sur une même génératrice de la surface.

Soit, en général, une courbe gauche géométrique quelconque G; imaginons une surface réglée V, telle que chacune de ses génératrices s'appuie en deux points sur cette courbe. Soient oa', bb\ cc\ ... les génératrices consécutives de celte surface; les cercles {a, a'), (ft, b'), (c, c'), . . . engendreront une autre surface, que je dirai dérivée de la courbe G. D'une même courbe donnée on peut ainsi déduire une infinité de surfaces à génératrices circulaires, et chacune de ces surfaces dérivées correspond à un certain mode de groupement des points de la courbe, défini par la surface réglée V.

Lorsque la courbe G est plane, les droites, telles que aa\ bb\ ..., qui joignent les points conjugués de celle courbe, ne forment plus une surface gauche, mais enveloppent une courbe . plane, qui peut aussi servir à définir le groupement des points. Dans ce cas, et lorsque la courbe G est d'un degré supérieur à deux, chacune des tangentes à l'enveloppe plane rencontrant G en

^m SUR l'emploi des imaoinaires dans la okomkthie dans l'espace. 35 1

^m p]us de deux points, il est nécessaire de fixer ceux des points de ^m rencontre que l'on doit grouper ensemble. Pour éviter cette diffi- ^m culte, il est alors généralement préférable de défmir chaque couple V de points par d'autres considérations ne donnant lieu à aucune

W ambiguïté, comme? je Tai fait au n'^ 7. en traitant des surfaces

f anallagmatiques à plan de symétrie.

On peut toujours, d'ailleurs, sauf dans le cas très particulier où ia courbe plane G est un cercle, effectuer une transformation par raj-ons vecteurs réciproques, de façon que cette courbe devienne ^ne courbe gauche sphérique ( * ).

12. D'une courbe gauche donnée on peut, comme je l'ai 'Montré, déduire une infinité de surfaces à génératrices circulaires, déj-i vées de cette courbe.

Réciproquement, étant donnée une surface quelconque à géné-

'^••■"ioes circulaires, on peut toujours la considérer comme une sur-

^^^^ dérivée d'une certaine courbe gauche G. En désignant par G,

^ •» Ci'', . . . les diverses génératrices circulaires de la surface, cette

covii^lje est le lieu des points (G), (G'), (G"), ... ; et la surface

''^Sl^e V, qui détermine le mode de groupement des points de la

^^^^•"le, est le lieu des axes des différents cercles.

* 3. Parmi l'infinité de surfaces dérivées d'une courbe gauche G, ^^ ^^ouve en particulier la dés^eloppable isotrope, circonscrite à ^^^ ^«courbe; j'entends par là la surface développable circonscrite * **^ fois à l'ombilicale et à la courbe donnée. Tous les plans qui ^ont tangents sont, par conséquent, des plans isotropes, et ses oratrices, comme nous allons le voir, sont des droites iso- {^es.

oit m un point quelconque de G; pour construire les généra- *^^esde la surface développable isotrope qui passent en ce point, noos la tangente à la courbe en m, et soit t le point où cette gante perce le plan de l'infini. Menons par t les deux tangentes l^mbilicale û et soient a et b leurs points de contact. Les plans

loi

C) Voir, comme application de ces considérations, mon Étude i^éomélrique **«^ la cyclide (journal L Institut et Bulletin de la Société philomathif/ue, **OTcmbre 1871).

35a GÉOMÉTRIE.

tma et tmb sonl deux plans isotropes tangents à la courbe G, el les génératrires correspondantes de la déveioppable sont les droites isotropes ma et mb. Remarquons maintenant que, la droite ab étant la polaire du point t par rapport à Tombilicale, le plan mba est perpendiculaire à la tangente ml; les génératrices de la développable, qui passent au point m, sont donc les deux droites isotropes passant par ce point dans le plan normal à la courbe.

J'imagine maintenant une droite passant parle point m et par le point m', pris sur la courbe G, à une dislance infiniment petite de m. Les cônes isotropes ayant ces deux points pour sommets se coupent suivant un cercle, dont le plan, perpendiculaire à nim\ passe par le milieu de ce segment, et dont le rayon, égal à mm! y est par conséquent infiniment petit. Le point m' venant à se confondre avec le point m, le plan du cercle d'intersection devient normal à la courbe au point m, le rayon de ce cercle devient nul et ce cercle se réduit à deux droites isotropes. Donc, quand une droite est tangente à une courbe gauche, le cercle, correspondant aux deux points de la courbe, qui sont réunis au point de contact, se compose des deux droites isotropes qui passent par ce point daus le plan normal à la courbe.

D'où cette conclusion : la développable isotrope, circonscrite à une courbe gauche, est la surface dérivée de cette courbe, lorsque la surface réglée, qui fixe le groupement de ses points, est la développable formée par les tangentes à la courbe.

Appliquons ces résultats à la recherche de la focale d'une courbe sphérique quelconque H; on sait, d'ailleurs, que cette focale est la ligne double de la développable isotrope circonscrite à H.

En désignant par S la sphère qui contient cette courbe, pour qu'un point donné /n soit situé sur une surface S dérivée de H, il est nécessaire et suffisant que le plan, associé au point m par rapport à la sphère (*), coupe la courbe H en deux points situés sur une génératrice de la surface réglée y, qui détermine le groupement de points correspondant à la surface S. Si Ton considère en particulier la développable isotrope, qui correspond à la développable ayant H pour arête de rebroussement, pour qu'un point m

( ' ) Sur l'expression « plan usâocié k uu point », voir n* 5.

SCR l'emploi des imaginaires dans la OEOMKTniK DANS L'ESPACE, 2')3

soit situé sur celle développable isotrope, il faut et il suffît que* le plan associé au point m soit rangent à la courbe H.

Si m est un point de la focale, c'est-à-dire de la li<;ne double de i^ développable isotrope circonscrite à H, le plan associé à m est doublement tangent à H.

On peut donc énoncer la proposition suivante :

Jocale d'une courbe sphérique est le heu des points associt^s C |)ar rapport à la sph«'*re qui contient la courbe) aux divers pierres doublement tangents à cette courbe.

^4-- En particulier, supposons que la courbe donnée soit une

^■c| ti sidratique sphérique; on a, dans ce cas, quatre systèmes de

^ ^*^s doublement tangents à celte courbe et qui correspondent

^^ cjualre côïies du second de^ré sur lesquels on peut la placer.

cale se compose donc de quatre biquadratiques sphériques.

les construire, considérons un de ces cônes K et son som-

^^ O; la biquadratique correspondante est le lieu des points

^^^Ciiés aux plans tangents à ce cône. Ces plans tangents passant

" *^ l « point fixe O, la courbe est située sur la sphère ajanl ce point

i,^^^^^ centre et coupant orthogonalemenr la sphère S, et elle est

*^ ^ ^rsection de celte sphère par le cône supplémentaire du

'-^ ^ K dont le sommet est le centre de S.

^^ ^ la biquadratique donnée est une focale d'une surface anallag-

^ ^î que, les quatre autres biquadratiques que Ton en déduit ainsi

^tituenl avec elle la focale ordinaire de cette anallagmalique.

sait d'ailleurs que ces cinq courbes sont situées sur cinq sur-

s du second degré hornofocales; les trois coniques focales

I ^^•r^munes à ces surfaces constituent la focale singulière de Tanal-

&*3ialique.

Xo. Remarques sur la transformation par rayons vecteurs

^^^iproques. — Lorsqu'une surlace passe par l'ombilicale, sa

^^ale complète se compose généralement de deux courbes dis-

^^ctes (dont chacune peut elle-même se décomposer en plusieurs

^^Ires). Les plans isotropes tangents à la surface, dont le point de

^^ntact est à distance finie, enveloppent une développable dont

*^ ligne double est W focale ordinaire de la surface; la dévelop-

pable circonscrite le long de Tombilicaie a pour ligne double la focale singulière.

Pour prendre [^exemple le plus simple, on voit que la focale ordinaire d^une anallagmatique se compose de cinq biquadratiques sphériques qui ont entre elles les relations que j'ai indiquées plus haut, et que sa focale singulière se compose de trois coniques.

Une surface du second degré n'a généralement pas de focale singulière et sa focale ordinaire se compose de trois coniques; une sphère n'a qu'une focale singulière qui se réduit à son centre.

Quand on transforme une surface par rayons vecteurs réciproques, on voit facilement que la focale ordinaire de la transformée est la transformée de la focale ordinaire de la surface primitive.

Mais il n'en est pas de même relativement à la focale singulière. Pour voir ce qui a lieu dans ce cas, je ferai remarquer que tout point (réel ou imaginaire) de l'espace situé à distance finie est représenté par un cercle de l'espace dont le rayon est fini et dont le centre est situé également à distance finie.

Généralement, un point situé à l'infini n^est pas susceptible de mode de représentation, le cercle qui le représenterait étant alors rejeté entièrement à l'infini; il faut le définir par l'une quelconque des droites qui s'y croisent.

Lorsque le point considéré dans le plan de l'infini se trouve sur l'ombilicale, le cercle qui le représente se réduit à une droite dont la direction seule est déterminée. Un point de l'ombilicale n'a donc pas, à proprement parler, de représentation; mais si on le considère comme appartenant à une nappe d'une surface donnée, la droite qui le représente est alors déterminée; c'est la droite réelle du plan tangent à la nappe de la surface au point considéré.

Une sphère ajant une nappe unique, on voit que chaque point de l'ombilicale (considéré comme appartenant à la sphère) est représenté par une droite unique passant par le centre de cette sphère, si l'on suppose ce centre réel, en sorte que tous les points de ronibilicale seront représentés par le système de toutes les droites qui rayonnent autour de ce point.

Une surface anallagmatique ayant deux nappes qui se coupent suivant Tombilicale, chaque point de cette courbe est représenté par deux droites réelles; l'ensemble de toutes les droites que l'on obtient ainsi forme une congruence qui représente Tombilicale.

SUR l'emploi des imaginaires dans la GEOMETRIE DANS L ESPACE. 233

is considérations qui précèdent permettent d'établir facilement fst f>xoposjtion suivante :

d Von transforme une surface S en S' par une transforma- ^tc^^-^ par rayons vecteurs réciproques; au moyen d'une sphère ^^^iT ^^ite autour d'un point O comme centre avec un rayon égal

■ *^ La focale ordinaire de S a pour transformée la focale Suaire de S';

* Pour obtenir la focale singulière de S' considérons le

* isotrope ayant pour sommet le point O ; il coupe S sui- ^"^^^ ^'^ ^ une courbe à double courbure, à laquelle on peut cir- ^^^"^"^-^Cf-ire une infinité de plans doublement tangents envelop- P^^^^^ ^ u,ne surface développable S.

-^^ ^at courbe polaire réciproque de cette surface, par rapport

^ ^-*-^-' sphère décrite du point O comme centre avec —jz comme

, est la focale cherchée.

• Si, en particulier, on considère une surface anallagma- ^ ^-* ^ S, le cône Isotrope a^^ant pour foyer le point O coupe Tanal- ^ " s^tique suivant une biquadratique. La développable double- ' circonscrite à cette courbe se compose de trois cônes du d degré, qui ont pour polaires, relativement à la sphère dont ns de parler, les trois focales singulières de S'.

— Propriétés dbs normales aux surfaces anallagmatiquës (})*

Proposition fondamentale.

. Je rappellerai d'abord quelques notions importantes relaaux surfaces anallagmatiques.

peut définir une surface anallagmatique 21 comme le lieu des ts associés, par rapport à une sphère fixe S|, des divers plans ouchenl une surface du second degré (ou quadrique) A^.

No"^^^^^^ Voir, à ce sujet, Bulletin de la Société philomathique, janvier 1868, nia

Sur quelques propriétés des surfaces anallagmatiques.

a56 OÉOMÉTRIE.

L^interscction de S| et de A| est une biquadratique sphérîque F, qui conslilue l'une des focales ordinaires de S.

On sait, diaprés M. Moutard, que la même surface est susceptible de quatre autres modes de génération semblables, au moyen de quatre autres quadriques Aj, A3, A4, A5, et de quatre sphères correspondantes S-j, S3, S4, S.-,.

Les quatre biquadratiques Fs, F3, F4, Fs suivant lesquelles se coupent respectivement ces quadriques et ces sphères, constituent avec F| la focale ordinaire complète de S, et toutes ces courbes sont reliées entre elles de la façon que j*ai indiquée dans le Chapitre précédent.

Des nombreuses relations qui ont lieu entre ces diverses surfaces, je rappellerai seulement les suivantes, dont j'aurai besoin dans ce qui suit.

En désignant respectivement par 0|, O2, Os, Oj| et O3 les cinq cenires des sphères :

I" Quatre quelconques d'entre eux fqrment un télraèdre conjugué par rapport à la sphère qui a pour centre le cinquième point et par rapport à la quadrique correspondante; ainsi le tétraèdre O1O3OSO4 est conjugué par rapport à Ss et à A5.

D'où il suit que O3 est le point de rencontre des hauteurs du tétraèdre 0| O2O3O4, ou encore que la droite O4O5 est perpendiculaire au plan O1O2O3.

2** Deux quelconques des cinq sphères se coupent suivant un plan (|ui contient les centres des trois autres. Ainsi, le plan radical des sphères S| et Sa, que je désignerai par la notation P,2, est le plan O3O4O5.

L'axe radical des trois sphères S|, S2 et S3, que je désignerai parla notation D45, est la droite O4O5.

18. Ceci posé, soient S, et Sy deux sphères principales de Tanallagmatique ]£, et A/, Ay les quadriques correspondantes.

M désignant un point quelconque de S et (M) le cône isotrope dont ce point est le sommet, le plan associé à M par rapport à S/ louche A| en un point m, que l'on peut appeler le point correspondant de M sur A/; ce plan est d'ailleurs le plan radical de S, et de (M) considéré comme une sphère de rayon nul. De même, le plan associé à M par rapport à Sy touche Ay en un point nij cor-

SUR l'emploi des imaoinaiues dans la aéoMÉTRiE DANS l'espace. 357

respondant aussi à M, et ce plan est le plan radical de Sy etde (M).

D'après un théorème connu, ces deux plans radicaux se coupent sur le plan radical Pij des deux sphères S; et Sy.

On peut donc énoncer la proposition fondamentale suivante :

Théorème I. — Si l'on désigne par m/ et mj deux points correspondants sur les quadriques Ai et Ay, les plans tangents en ces points se coupent suivant une droite E située dans le

j>lan Pij. La droite mintj est normale à Vanallagmatique S, et /e pied de la normale est situé dans le plan mené par Dijj

y^crpendiculairement à E.

Comme l'on a dix plans P/y, on voit, d'après le tlioorème précédent, que le système des normales à une anallagmatique donnée peut être engendré de dix façons différentes, au moj'en de deux quadriques homofocales. De là résultent encore d'autres modes de g^^nération de ces droites, au moyen de trois ou de quatre quadriques.

Ce sont ces diverses conséquences que je me propose d'étudier ^t. de développer dans les paragraphes qui suivent.

énération du système des droites normales à une même surface anallagmatique au moyen de deux quadratiques homofocales,

19. De la proposition qui précède on déduit facilement le l:iéorème suivant :

Théorème II. — Étant données deux quadriques homofo^

-^les A| et A2 et un plan arbitraire P,,, si, de chaque droite E

ce plan on mène des plans tangents aux deux quadriques,

t si r on joint deux à deux les points de contact appartenant

des surfaces différentes, toutes les droites ainsi obtenues

ont normales â une même surface anallagmatique S.

J'ajouterai que la surface S est te lieu des points d^intersec-

ion de chacune des normales avec le plan mené par la droite,

ui est le lieu des pôles du plan P|2 par rapport aux surfaces

homofocales à A| et K^^ perpendiculairement à la droite E cor-

Respondant à la normale. On a ainsi un mode simple et direct de

a58 oéoMÉTRiB.

génération de la congruence de droites formée par les normales à une anallagmatique; et, comme je l'ai Tait remarquer, cette congruence peut être engendrée, de la même façon, de dix manières différentes.

Tout ceci se rattache à l'étude de deux complexes de droites remarquables, que l'on peut déGnir ainsi qu'il suit :

Étant données arbitrairement deux quadriques, et m, nt! désignant deux points pris respectivement sur chacune de ces surfaces, le premier complexe est composé des droites mw! telles que les plans tangents en ces points se coupent sur une droite fixe. Le deuxième complexe (réciproque du premier) est composé des droites d'intersection des plans tangents en m et en nt! quand la droite mnJ s'appuie sur une droite fixe.

20. La construction précédente donne, pour chaquie point 17? de A|, deux des normales à £ qui s'y croisent; comme ces deux droites doivent être symétriques par rapport au plan tangent à ce point, on en déduit la proposition suivante :

Théorème III. — 5/, par une droite D, prise arbitrairement dans Vespace, on mène des plans tangents à deux quadriques homofocales A| , A2, et qui la touchent respectivement en p^^ qs et /?2, 72» Ici normale menée en p^ à la quadrique A, est dans le plan des deux droites p^p^ ^^ p\ q^i et fait avec elles des angles égaux.

Si Ton considère le quadrilatère pxqip^q^i on voit que deux côtés consécutifs quelconques de ce quadrilatère, p\q\ et q\p% par exemple, sont également inclinés sur la normale en ^i, et que leur plan contient cette normale ; d'où cette conséquence curieuse :

Théorème IV (*). — Etant données deux quadriques homofocales quelconques) si un rayon lumineux, mené d'une façon quelconque dans V espace, se réfléchit une première fois sur la première surface, une seconde fois sur la deuxième, une troi-

(>) Il est bien clair que l'on doit choisir d'une façon convenable les points de réflexion ; de plus, on peut remarquer que deu\ des rayons réfléchis sont virtuels.

SUR l'emploi des imaginaires dans la géométrie dans l espace. 359

sième fois sur la première , et enfin une quatrième fois sur la deuxième, après ces quatre réflexions, il reprend la même t^oute, en sorte que, quel que soit le nombre de réflexions analogues qu'il éprouve^ il parcourt constamment les quatre côtés du même quadrilatère.

En s'appuyant sur la ihéorie bien connue des caustiques, on rféduit de là la proposition suivante, qui s'applique également 3W coniques homofocales (*) et donne alors comme cas particu- 'ier la propriété focale qui sert de définition à l'ellipse et à l'hyperbole.

THéoRfeME V. — Étant données deux quadriques homofocales quelconques, si, par une droite prise arbitrairement dans ^ ^^J>€xce, on mène des plans qui touchent respectivement ces ^^f^fcices aux points /?«, /?2 et gr,, gra, la somme de deux côtés ^^^sécutifs du quadrilatère formé par ces quatre points est ^g^lc à la somme des deux autres, en sorte que l'on a

^1 • Aux propositions précédentes se rattache un mode de

^''Hnsformation de droites dans l'espace, qui mérite d'être signalé.

t.tant données deux quadriques homofocales A et B et une

droite quelconque D, considérons un des points où cette droite

^'^Contre A, et soit a ce point; soit de même b un des points où

^ droite coupe B, les plans tangents en a et en 6 se coupent sui-

^*^t une droite par laquelle on peut encore faire passer un plan

^Ogent à A et un plan tangent à B; A désignant la droite qui joint

^^rs points de contact, je dirai que D et A sont des droites cor-

^Spondantes conjuguées.

A une droite quelconque de l'espace D correspondent quatre ^^oiles A; si un rayon lumineux est dirigé suivant la droite D, ^près s'être réfléchi successivement sur chacune des deux qaa-

(*) 11 est presque inutile de dire que tous les théorèmes énoncés dans ce Mémoire s'appliquent également aux anallagmatiqucs et aux coniques planes, ^însi qu'aux courbes sphériques analogues.

afio OéOMéTRIB.

driques, sa direction coïncidera avec celle d^une des droites conjuguées A, et Ton obtiendra ces quatre droites en choisissant, de toutes les façons possibles, les points où se fait la réflexion.

Du théorème de Malus il résulte d^ailleurs que si un svstème de droites D est normal à une même surface, il en est de même des systèmes des droites conjuguées.

2!2. Le système des droites normales à une anallagmatique S étant défini comme je l'ai fait dans le n® 19 au moyen des deux quadriques homofocales Â| et A2 et du plan fixe P12, on peut se proposer de déterminer tous les autres éléments qui définissent £.

En conservant les notations du n^ SO, si Ton désigne en outre par Ky la conique suivant laquelle le plan P/y coupe la quadrique A/, on obtiendra facilement les propositions suivantes :

Les centres 0| et O2 des sphères correspondant aux quadriques A| et A2 sont respectivement les pôles du plan P12 par rapport à ces surfaces. Les centres des trois autres sphères sont les points de rencontre des diagonales du quadrilatère complet formé par les quatre points dHntersection des coniques K* et KJ.

Si Von circonscrit une surface développable à la quadrique A| et à la conique KJ, les trois autres coniques doubles de cette surface sont les coniques KJ, K* et KJ, et la dé{?eloppable est circonscrite à la sphère S| .

De là résulte, en particulier, une construction très simple des diverses quadriques At, A2, A3, . .., lorsque la surface anallagmatique est définie par Tune d'elles et la sphère correspondante.

Théorème VI. — Une surface anallagmatique étant définie par une surface du second degré et une sphère, la dévelop'^ pable circonscrite à ces deux surfaces a quatre lignes doubles qui sont des coniques. Diaprés un théorème dû à M. Chas les, par chacune de ces coniques on peut faire passer une quadrique homo focale à la première; les cinq quadriques ainsi déterminées sont précisément celles au moyen desquelles on peut engendrer la surface.

SUR l'emploi des imaginaires dans la géométrie dans l'espace. 361

23. Le système des normales à une surface anallagma tique £ peut éire en général engendré de dix manières différentes par le mode de construction que j'ai indiqué ci-dessus.

Si la surface a un plan de symétrie, quatre de ces modes de génération ne peuvent être généralement appliqués et deviennent ii/usoires.

On peut, en effet, définir cette surface au moyen d'une qiiadrique el d'une sphère S ayant son centre dans un des plans de symétrie H de cette quadrique; les centres des autres sphères pnncipales de Tanallagmatique sont les sommets des cônes passant par l'intersection de la quadrique et de la sphère S. Dans le ^s considéré, l'un de ces centres étant à l'infini, la sphère, la 9uadric|ue et le plan fixe correspondant se confondent tous les ïfois avec le plan de symétrie H; la proposition fondamentale ne peut donc plus s'appliquer, et il est nécessaire d'étudier directe- Aient Oc cas spécial.

**^îs avant d'aborder cette élude, je dois encore faire une "^^'^cjue sur un cas singulier qui semble présenter quelque

Les normales à une surface anallagmatique ayant trois plans ^y ODiétrie peuvent être considérées comme le lieu des diverses ^'^^s qui joignent les points de deux quadriques homofocales P ^"^ lesquels les plans tangents sont parallèles.

^^^risidérons maintenant deux quadriques homofocales, et soit H

^^ leurs plans de symétrie; prenons une droite quelconque E

^^ dans ce plan, et menons par cette droite des plans tangents

. ^^ deux surfaces; les droites qui joignent les points de contact

^^s sur l'une des surfaces aux points de contact situés sur l'autre

. ^ toutes normales à une même série de surfaces parallèles pour

^ M elles on saura même déterminer les lignes de courbure.

^^^ns le cas général (celui où le plan H n'est pas un plan de

^^^Irie), on sait que, parmi ces surfaces parallèles, se trouve une

^«lagmatique; dans le cas singulier que je considère, celle anal-

S^^alique est rejetée à l'infini.

*■ ^ remarque, en effet, que le lieu des pôles du plan H, par rap-

*^ ^'^ aux quadriques homofocales aux quadriques données, est

^^"^ Oj5 perpendiculaire au plan de symétrie H; les points de

aGs OÉOXÉTRIE.

contact des plans menés par E aux deux quadriques sont situé« sur un cercle dont le plan est perpendiculaire à E, et, par conséquent, parallèle au plan mené par Os, perpendiculairement à cette droite. 11 en résulte, d'après la construction donnée dans le n" 16, que tous les points de Tanallagmatique sont rejetés à l'infini.