THÉORIE DES SURFACES

Nouvelles Annales de Mathématiques; 1873.

Les beaux travaux de MM. Bonnet, Bour et Codazzi ont notablement perfectionné la théorie des surfaces; les formules fondamentales de cette théorie me paraissent pouvoir être exposées d'une façon assez simple ....

Je suppose les différents points de la figure rapportés à trois axes rectangulaires Oar, O^, Oz, et les coordonnées des points de la surface exprimées en fonction de deux variables indépendantes u et V.

Soient lu) et {v) les courbes de la surface obtenues en donnant respectivement kuelk v des valeurs constantes.

Imaginons un trièdre trirectangle il/X, J/Y, il/Z, qui se

déplace de façon que son sommet M décrive la surface, l'arête MTj

lui étant normale; les deux arêtes Jl/X et MY sont constamment

situées dans le plan tangent en M^ mais leur mouvement reste

indéterminé.

Soient

cosa, cosp, cosy,

cosj, cosu, cosÇ,

cosX, cosfx, cosv

les cosinus que font respectivement les axes il/X, if/Y, MTj avec les axes fixes Oxj Oy^ Oz.

Si Ton passe d'un point quelconque («/, v) de la surface à an point infiniment voisin {u-{-dUj i'-f-rft'), d'après une formule bien connue sur le déplacement infiniment petit d'un corps invariable (*), on a les neuf relations suivantes :

û^cosa =-+-(M£/m-+- N</p)cosÇ -+-(P£/a+ S^p)cosX,

û? cos Ç = — ( M du -h N dv)cosoL — ( Rdu-^Q dv) cosX,

(i) [ c?cosX = — (P du -h S </p)cosa-+-(R</a-4-Q€/i')cosÇ,

rfcos^ =-H(MrfM-+-Nrfv)cosu-+-(P£/a-^S dv)cos\L^

Je n'écris que les quatre premières de ces relations, les autres s'en déduisant immédiatement; M, N, P, Q, R et S désignent six fonctions données de u et de r.

Comme les développements qui suivent s'appuient surtout sur

les formules données (2) par M. Serret pour les lignes à double

courbure, je transcrirai ici ces formules.

Soient

cosa, cos6, cosc,

cosa?, co»^, cos-5,

cos/, cos/n, cos/i

les cosinus des angles que font respectivement, avec les axes fixes Ox^ Oy et O2, la tangente à la courbe, la normale principale et l'axe du plan osculuteur.

Désignons de plus par ds un élément infiniment petit de la courbe, par /• le rayon de courbure et par t le rayon de torsion en ce point.

J^es formules de M. Serret sont contenues dans le Tableau sui-

(») Voir Nouvelles Annales de Mathématiques, a» série, t. VI, la Note de M. Picart : Nouvelle théorie du déplacement continu d'un corps solide, ^. 160. (5) Voir Calcul différentiel de Lacroix, t. II, p. 284 et 299.