TTR LES FORMULES FONDAMENTALES DE LA THÉORIE DES SURFACES

vaut :

^ dcosa = cosa? — >

dcoso = cos^ — 9 , ds

dCOSC = COSZ — y

a cosi = cosa?---»

a cos m = cos y -- >

ds dcosn = C08-5 ---;

j ds , ds

acosx = — cos a cos« — >

, , ds ds

d QO%y = — cos b cos m — >

I , ds ds

\ acos« = — cosc cos/i —-•

Elles sont, on le volt facîlemenr, contenues dans les formules géDërales (i).

Je suppose maintenant, en conservant toutes les notations précédentes, que la ligne considérée soit tracée sur la surface donnée.

La droite MTj étant normale à la surface, en désignant par i TaDgle que fait la courbe avec Taxe A/X, et par xs l'angle que fait la normale principale de la courbe avec la normale à la surface, les formules d*Euler donnent le système de formules suivant :

cos a cosa-f- cos 6 cos^ -+- cosc cosy = cosi,

cos a cos Ç -4- cos 6 cosu h- cosc cosîj = sini\

cos a cosX -4- cos b cos \l -+- cos c cos v = o ;

cosa" cosa-f- cos^ cos^ -+- cus^ cos y = sinm sini,

cos a? cos Ç -h cos^ cosu -+- cos 5 cosÇ = — sint» cost,

cosa?cosX-+- cos y cos(ji-+- cosz cosv = cosw,

cos/ cos a H- cos m cos^ -h cosn cos y = — cos© sint,

cos / cos \ -H cos m cos u ■+■ cos n cos Ç = cos m cos t,

cos / cos X -h cos m cos \l -+- cos n cosv = sin xs.

Si maintenant nous difTérentions ces neuf équations en tenant compte des relations (i) et (2), nous obtiendrons, après quelques réductions faciles, le Tableau suivant :

ds

sin w = rfi -h M rfw -h N dv^

ds

— cosw = {V du-^-Sdv) cos i — ( R û?a -h Q rft' ) sin *\ r

ds

— rfnj-f- -- = — {V du-^S dv)^\ni — (Kdu-\-Çldç) cos i

a66 GÉOMÉTRIE.

qui donne les trois premières équations fondamentales de la théorie des courbes tracées sur les surfaces.

Les quantités ^cosa, dcos^^ ... étant, par leur définition même, des différentielles exactes, en exprimant que cette condition est remplie, on obtiendra les trois relations contenues dans le Tableau suivant :

(B) .g g=MQ RN.