II,AH = A
on voit que les systèmes A' et A sont de la même forme.
La recherche des systèmes de transformation que nous devons employer est donc ramenée à la résolution de Téquation (4)» où A et I désignent des systèmes donnés cl où Tun des nombres p et Q peut être choisi arbitrairement.
Ces deux nombres sont reliés entre eux par une relation que Von établira facilement en égalant les déterminants des deux membres de Téquation (4).
On trouve ainsi
2 = A(p^-h6I) = 4yoP*— 2«op'6-H2e3,
d'où
(4') 2yo?»-«op*e-+-e» = i.
Telle est la relation qui relie les nombres p et 0; Jq et Îq désignent respectivement Finvariant cubique et l'invariant quadratique de la forme co.
5. La valeur du déterminant que j'ai transcrite ci-dessus se déduit immédiatement de la formule suivante, facile à vérifier, et dont je me servirai dans ce qui suit,
Dans cette identité, où Xj y, z désignent des quantités arbitraires, j'ai écrit, pour abréger,
et
— A: = 4(«c — 6»)( ye 8«) — (arf — bc)( ^e — yo) -h . . . ,
/r désignant l'invariant quadratique simultané des hessiens de u et de (I).
6. Ayant choisi riinc quelconque des solutions de Féquation (4), où les nombres p et 0 satisfont à la relation (4/9 on en déduira un système A' de même forme que le système A.
Les coordonnées «', b\ c\ ... qui entrent dans ce nouveau système sont reliées par une identité de la forme
et je me propose d'abord de déterminer la valeur des constantes qui entrent dans cette relation, ou encore le système A' que ron peut former avec elles et qui est analogue à A.
A cet clTet, je remarque que l'on a, d'après l'équation (5),
i{\A — 5) = — -5» -H A 5 -H 4yyoi
et que, si le second membre de cette relation ne contient pas de ternie en c', c'est précisément en vertu de l'identité (i).
Pour trouver A\ il faut donc le déterminer parla condition que le développement de Texprcssion
manque du terme en z^.
11 suffit pour cela de déterminer deux quantités X et p., de telle sorte que l'expression
y|'=Ho(X.-l -hjiDH
ait la même forme que A (c 'est-à-dire que le terme du milieu soit le quadruple de chacun des termes de la diagonale secondaire du svstème).
En eiFel, en remplaçant respectivement A' et A' par leurs valeurs, on a identiquement
expression dont la valeur, en vertu de la formule (5), manque bien du terme en c'-.
7. Les nombres p, 0, \ et u avant été déterminés comme ie l'ai dit ci-dessus, en désignant par /', /i', A*', ... les quantités analogues à I, /i, A-, . . . , mais relatives aux systèmes A' et A'j la for-
mule (5) donne la relation
le déterminant qui précède devient, si Ton remplace dans son expression A' et A' par leurs valeurs
OU, en efifectuant les calculs,
A(Xa7H,A^Hoi-4-fxarH,AIHoi-h^H,AHI— 4;),
OU encore, en multipliant à droite par H| le système compris sous le signe A et en le divisant ensuite à gauche par Hi,
A(XarH, A^ -h [ixXl -+-j^AHIH,-^ a),
ou encore, en vertu de la formule (4);
a{ A[(X^ -t- py)A -+- (fia? -h ^y)l] — z\.
Si l'on développe ce déterminant au moyen delà formule (5), on obtient l'expression
. J — ^•-+--5[*(Ht'^-+-6/)'-4-îi^(Xa?-t-pj^)(fia?-+-0j^) 4- A:(Xar-f-p/)*
( -Hy[4yo(X3?-+-p^)> — 2io(Xa?-hpj^)«(HLa?-f-ej^)-+-2(fiar-H0^)«.
8. Les polynômes (7) et (6) doivent être identiques, quelles que soient les variables Xy y^ z; en identifiant ces deux expressions, on obtient les relations contenues dans le Tableau suivant :
Tableau A.
ay'oP* — «op'ô -+-6«= I,
6 /oXp* — l'o p' }x — 2 1*0 Xp6 -+- 3 }jl6* = o ;
^/o = ••*yoX'— t'oX» fi -+- fi», 1*^= toX*0 -f- 2ioXp}jL — ôy'oX'p — 3fi*6;
e ==6»t-4-2pO/i-h p»A-, (3) { A'=fiet-4-(X0-hpHL)A-+-XpA:,
k' = fjL*i-+-2X}jLA-+-X*A:.
Je laisse momentanément de côté ces relations, sur lesquelles j'aurai à revenir plus tard; je me contenterai de faire observer
que la première des équations (3) du Tableau précédent donne U solution de la question principale que je m^étais proposée. Toutes les quadriques fournies par Téquation
Tïsô'jH-tipOA -hp'A: = o,
où le rapport ^ peut varier d'une façon arbitraire, coupent dC suivant une de ses lignes asjmptotiques; et comme par chacun des points de celte surface passent deux de ces quadriques, on obtient ainsi le système complet des asymptotiques cherchées.
