II. — Propriétés des lignes asymptotiqucs

9. Considérons une ligne asymptotique quelconque Z de la surface DC ; celte ligne est Taréte de rebroussement de la surface enveloppée par le plan dont Téquation est

t'.'z désignant un paramètre variable.

Lorsqu'on donne à ce paramètre une valeur déterminée, Péqualion précédente représente un plan osculateur de Z et tangent à dC, que j'appellerai simplement />/^/i (/). J'appellerai tangente (l) la tangente à Z au point où le plan (^) lui est osculateur; ses équations sont

du dt

du dz

Knfin j'appellerai point (t) le point de contact de cette tangente; <os équations sont

6/* -h ac/T -i- dz^= o.

c/* -T- 'idi'z -r- e-» = o.

Je dirai indifféremment que / : t (ou t) est le paramètre de ce point, de la tanj^onte en ce point à Tasymptotique et du plan osculateur dont cette tangente est la caractéristique.

Les relations précédentes et féqualion (i) permettent d'exprimer les coordonnées d'un point quelconque de Z en fonction de son paramétre: on obtient ainsi le Tableau suivant :

Tableau B.

a = — 4a/»T*— l'ifi^^T* — V7.^t X* — 40x8, b= 3a/*x«-4- 8{i/»x3-h 67/»x*— ex«, c =- aa<»x — 4p/*x2H- 45/Sx^-+- '2£/x5, <i= a/6 - ÔY/^x»— 8o/3x'— Ser'x*,

10. Étant donné un point M, dont les coordonnées soient a', &', c', d' et e', posons pour un instant

Xo' A-hX6' c-^Xc' X6' c-kXc' d->r\d!

\c' d-\-\d' e-i-le'

= y^Xy,-4-XV'-4-X»/ (»);

diaprés la méthode donnée par Joacliimsthai, on obtient Féquation du cône circonscrit à ^ et ayant pour sommet le point M, en égalant à zéro le discriminant de la forme cubique contenue dans le second membre de Tégalité précédente. Si le point M est sur Z,

on a

et Inéquation du cône circonscrit devient

y? — 4 Jjo = o.

On peut dans cette équation exprimer, en employant les formules du Tableau B, les coordonnées du point M en fonction de son paramètre /, et je ferai remarquer qu^après la substitution les invariants j\y y, j'^ deviendront des covariants des jormes u et co.

Comme un covariant est déterminé par son terme du degré le plus élevé en /, il me suffira, pour calculer chacun des covariants dont je viens .de parler, de supposer a', 6' et c' égaux à zéro, et de remplacer respectivement d' et d par OLt^ et 41^^*« H viendra ainsi

7*0= [4 ?(«c - 6*) — 2a(arf - bc)\ t^

(*) Pour éiritcr toute confusion, je ferai remarquer qu'ici j\. y',, j n'ont pas le même sens que dans le paragraphe précédent.