Le coefficient du terme le plus élevé dans le covarianl
JJ-h iii'^ju est
ou, en effectuant les calculs,
t'^iac — 6»)( a*( a<? — c*> — 4ap(arf— 6c) -+- 4P«( ac — 6«)].
Si Ton désigne par H le hessien de // et par G le covarîant
on voit que Ton a identiquement
d^où il suit que Je cône circonscrit se décompose en deux cônes du second ordre, propriété caractéristique de ta sur face réciproque de la surface de Steiner ( * ).
Remarque. — Les deux cônes ainsi obtenus se distinguent très
nettement par la forme de leur équation; je dirai que le cône
doni Téqualion est
appartient à Vasymptotique Z, et je le désignerai par la nota-
(') Sur la surface de SU'iner. voir Borchardt, l. LXIII : Cremona, Sur la surface du quatrième ordre y etc., p. 3i5 et suiv. — Borchardt, t. LXIV : Kum- MER. Ueber die Fldchen des vierten Grades; Weierstrash. Note zur vorstehenden Abhandtung; Schroter, Ueber die Steiner'sche Floche.
lion Xi", il est clair que le second cône appartient à la deuxième ligne as^mptotique qui passe par le poinl (t).
12- Soient (l) el (<') deux points de l*asymplolique Z; considérons le premier émanant de a,
\ C = <(ar'»-+-36/'»T'-h3c/'T'«-4-e/T'3)
L'équation C = o représente un plan passant évidemment par la tangente (f); si, laissant ie point (/) fixe, on fait varier le point (/'), ce plan enveloppe une surface du quatrième oidre ayant pour arête de rebroussement une cubique gauche.
L^équation de cetle surface s^obtient en égalant à zéro le discriminant de C (par rapport à t' et r); comme ce discriminant est un covariant de u et de ct), il suffit de calculer son terme du degré ie plus élevé qui est
[4(ac— 6«)(M — c«) — (arf— 6c)«J/S ou encore
[aj —{ac — b^)i]t^,
I..*équation de la surface développable, que j'appellerai S^, est
donc
13. Pour tous les points de Taréte de rebroussement de S/, on
doit avoir
a/ -f- 6x bt -\- cz __ et -\- dx bt -^ Cl ~' et -\- dx dt -h ez
ou encore
Î{ac — b*)t*-h{ad-'bc)t-:-h (bd— c^)z^ = o, (ad — bc)t^-\- {ac — c*)/t -+- (6e — rfc)x«= o, (bd— c*)t^-{-{be —cd)tz-h{ce — e/*)'u«= o.
Le déterminant de ces trois équations est égal ày^, ainsi qu'il est facile de le vérifier; comme il est nul par les points de la courbe, il en résulte qu'elle est située sur la surface dC.
Elle est également située sur le cône 5C^; Téquation de ce cône
2gj OKOMKTRIK.
peut en elTel se mettre sous la forme suivante :
t*[(ac—b*)t*'i-(ad—hc)t':-^(hd~-c*)z*\ -h t-zliad -^ bc)t*-h {ne — c^)ti -^{be — c</)t«] -r- T* |( bd -^ rM/'-4- (6tf — cd)lz -^{ce — 6^)t«J = o.
D'où celle conclusion :
IJnrrtr de rebroussemeni de In développable £f est la cubique gauche, suii'ant laquelle la surface .'X est touchée par le cône circonscrit à la surface^ appartenant à l'asymptoUçue Z, et ayant pour sommet Ip point i t).
De là on déduir» facilenienl les propositions suivantes :
Théorkme I. — Les cônes du second degré circonscrits à DC, avant leur sommet sur une ligne asvmptotique Z de cette surface et appartenant à cette ligne asymptotique, touchent tK suii'ant des cubiques gauches. Les sur/aces déi'e/oppabies, dont ces cubiques sont les arêtes de rebroussementy coupent DC suivant la lii^ne Z.
Thkoiikmf. il — Etant pris un point M sur la surface ÏK^ ie cône y circonscrit à la surface et dont ce point est le sommet, se compose de deux cônes du second ordre. Chacun d'eux touche cK suivant une cubique gauche; les surfaces développablesy dont ces cubiques sont les arêtes de rebroussementy coupent tK suivant les deux lignes asymptotiques qui se croisent au point M.
I i. Los cônes du second degré circonscrits à iX' et qui appartiennent à ra.Nvniplolii|ue Z touchent cette surface suivant des oiibiipies gaurhes que je dirai aussi appartenir à l'asymptotique.
TduIos les cul)i(|ues appartenant à relte asvmptotique passent par le> (jualre points satisfaisant aux équations
ces points >oiU d'ailleurs les points de rebroussement de Lasjmptotiiiue et les points coniques de OC; leurs paramètres sont les racines de Téq nation lo = o.
SUR LA SURFACE RÉCIPUOQUE DK LA SURFACE DK STEINKR. 298
Indépendaïuiiieiil de ces quatre points, deux cubiques appartenant à rasvnriptoti(|ue Z se coupent en un cinquième point.
Ce point est le sommet d'un cône du second degré qui contient les deux cubiques.
Pour démontrer cette proposition, je m'appuierai sur le lemme suivant que l'on ëtabHra facilement :
Une surface développable du quatrième ordre [ayant pour arête de rebroussemeni une cubique gauche) étant considérée comme l'enveloppe d'un j lan mobile
fÇk) désignant un polynôme du troisième degré en X, les différents cônes du second ordre qui passent par l'arête de rebroussement sont donnés par l'équation que l'on obtient en égalant à zéro le covariant quadratique de fQ^),
Cela posé, la cubique gauche, suivant laquelle la surface cX est touchée par le cône du second ordre ayant le point (/) pour sommet et appartenant à rasvinploti(|ue Z, est l'enveloppe du plan mobile défini par Téquation (8) (^ étant considérée comme la variable). L'équation générale des cônes du second ordre passant par cette cubique sera donc, en vertu du lemme précédent,
at-^hi bt-^-cz et -^ di bt -^ cz et -\- dz dt -{- ez
ou, en elFectuant les calculs,
/ t!^[{ac-'b^)t^ ■h{ad—bc)tz -f-(M— c*)x*J (lo) I -^t'z'yiad— bc)t'^-\-(ae— c*)tx-{-{be — ce/)x«]
' -+- r'« [(bd— c^)t*-r'(be — cd)tz-\-{ce —d'^)'^] = o.
Je remarque maintenant que cette équation est symétrique par rapport à / et ^; d'où les propositions suivantes :
Théorème III. — Si de deux points (t) et (t') situés sur l'usympto tique Tj^ on mène les cônes du second ordre circonscrits à OC e< appartenant à cette asymptotique, les deux
2g\ OKOMÉTRIE.
cubiques gauches de contact sont situées sur un même cône du second ordre, dont le sommet est le point d'intersection des deux cubiques distinct des quatre points nodaux de .*X.
Remarque, — Ce cône est défini par Téquation (lo).
Théorème IV. — Étant donnée une cubique quelconque passant par les quatre points coniques de tK, la surface développablèy dont cette cubique est C arête de rebroussement, coupée suivant une de ses lignes asymptotiques Z.
Si l'on considère les divers cônes du second degré qui contiennent cette cubique, ils coupent DC suivant les diverses cubiques appartenant à Z, en sorte que les développables dont elles sont les arêtes de rebroussement contiennent toutes Z, et que les développables circonscrites àd(. le long de ces cubiques sont des cônes du second ordre dont /^s sommets sont situés sur Z.
15. Il esl facile dViendre les résullats précédents à une asymptotique quelconque Zp résultant de Tintersection de dC avec la quadrique
A cet effet, j'établirai d'abord une formule très simple el que j'aurai
souvent l'occasion d'employer.
Soit, en conservant les notations du § I, le système linéaire
gauche
d'oii
Uo= — t'z O O X O O o; /* o o o o o
le produit HUH| est aussi un système gauche que je ferai égal à (')
( ' ) Il esl iniporlanl de ne pas confondre ici le sysième linéaire H avec le hessïtn de u que j'ai désigné par la même lettre.
en sorte que l'on aura
zoo z — y X Vo= — y o o X o o o, ar o o o o o
et par suite
Hoi X — tz = — V .
De Téquation (4) od déduit
d'où
H(lH-U)H,= pA-hei4-V.
A{I-4-U) = A(pAH-0l4-V).
Représentons, pour abréger, par o(:r, y, z) la forme quadratique
aa?*-+- i'^y^'h e-5*-+- ^^zy -+■ 4 ^y^ -+- 'J^y^z;
développant la relation précédente, on obtiendra Péquation
en sorte que, quand le rapport 1 1 t prend toutes les valeurs possibles, les variables x,y, z restent constamment liées par la relation (1 i)-
16. Cela posé, diaprés ce que j*ai démontré plus haut, inéquation générale des cônes circonscrits appartenant à l'asymptotique Z s'obtient en égalant à zéro le hessien de u\ on peut donc l'écrire de la façon suivante :
abc X* — z^t T*^*
OU simplement
A(A-4-Uo) = o.
s cônes circonscrits appartenant à l'asymptotique Zp auront par ite pour équation
A( A'-^- Uo) = A(H, AH -f- Uo) = A(A H- HioUoHo) = o.
AKONKTRIK.
OU encore
A» A -4- Vo) = o,
OU enfin en développant
y = ( rtr — />' )x* -r- iae r* )y^ -\- {ce -^ àihe - - cd)yz -f- jK bd — c^)zx
liad — bc)xy = o.
Telle est r équation f(énérale des cônes du second ordre circonscrits à *K et appartenant à i'asymptotique Zp, les variables X, y, z étant assujetties à salis/aire à Inéquation (11)-
17. L'équation générale des cônes du second ordre qui conliennenl les cubiques gauches appartenant à rasjinptotique Z (C/, n" 1 i) peut se mettre sous la forme
LVquation analogue pour les cubiques appartenant à l'asjmptoli(jue Zp sera
Ti o o •:'« — T/' /'*
A I HiAH-i T/ 00x0 o o
= A . A -h Hoi -- T/ o o X o o o X IJo )
ou encore, en vertu des relations que j^ai établies plus haut.
A « A -r- -- y o o X o o o • = o. » X o Ki 000'
D\>ii la conclusion suivante :
Si l'on di-si*:ne par x, r, z et x\ y, z' deux systèmes de variables satisfaisant respectivement à l'équation{i 1), l'équation irént'rale des cônes du second ordre qui contiennent les cubiques appartenant à V asympto tique Zp est
dx
dz
Je désigne ici pary* la même forme quadraliqiie que dans le numéro précédeni.
Lies équations des cubiques gauches elles-mêmes sont
{ac — b^)x -hiad — bc)y -\- (bd — c*)-5 = o, {cul — bc)x -h (ae — c^)y -\- (be — cd)z = o, ( bd — c^)x -¥ (be — cd)y -^ (ce — d^)z = o.
IS. Je ferai encore quelques remarques sur les propositions précédentes.
Par tout point M, pris sur la surface IK, passent deux cubiques appartenant à Tasvmplotique Z; ces deux courbes définissent parfaitement le point M, dont on peut ainsi fixer la position sur la surface par les valeurs des paramètres t et t' des points de Z qui sont les sommets des cônes touchant la surface suivant les cubiques considérées.
lin un point (t, t') de rK, Téquation du plan tangent est
Co= t'*(at*-+- ibtz -f- CT«) -4- it'i'{bt*-\- ict-z -f- dz'^)
-f- t'* (c<* -h -i^^T-h ex») = o;
on voit ici apparaître l'émanant principal de u\ les deux autres émanants
et
C = t(an-h 3A<'«t'— 3c/'T'«-f- rfc'») -4. T(6/'3-h 3c/'«T'-f- ^dt'z'*-h ex')
présentent, comme nous Tavons vu, les plans passant par le point (^, /') et les tangentes (/) et (/'), ou encore les plans osculateurs des cubiques, appartenant à Tas^^mptotique Z, qui se croisent au plan considéré.
Le plan tangent au point (t, t') passe évidemment par les deux points (t) et (/').
Il serait facile d'exprimer en fonction des paramètres t et t' les coordonnées du point (/,^'); mais je laisse de côté cette recherche, qui me serait inutile en ce moment.
•HjH UKOMKTRIE.
III. — Sur les Hf;ne$ nodules des surfaces déveioppahies dont les asymptoliques sont les arêtes de rebroussement (* ).
\\), La surface développahie (0, dont la sextique Z esl l'arête i\v rehroiisseinent^ a pour ligne nodale une quartique -TG dont il esl facile d\)bl<Mnr les équations.
Pour loul poiiil de celte courbe, IVquation
a deux couples de racines égales; elle est donc définie par le syslème (Féqualions
ac />* (id — bc. (ic -*- Oibd — ir* be — cd ce — d^ a '}.b ()c 'id e
d'où Ton déduit, en verlu de Tidentilé,
a £ — \bri -^ 6c-i — ^d^ft -^- ea = o^
i { (ic — />* ) — 2 0 < ad bc) -*- ^\ ae -^ nbd — 3 c')
- 'i^6{be — cd) -hOLice -^- d^ ) = o.
( ' ) On sait ( t*ot/* Oam.ky, toc. cit.) que ces lignes nodales sont des courbes du quatrième ordre et de seconde espèce (cVst-à-dire par lesquelles on ne peut faire passer qu'une seule surface du sei'ond ordre): dans tout ce qui suit, je les appellerai« pour abrt'^er. simplement guartigues, en réservant le nom de àiquadra' titfues aux courlves du quatrième ordre qui résultent de rinterseclion de deux surface*^ du second ordrt\ J'ap|>ellerai de même stxtigues les courbes du sixième ordre el de quatrième classe qui sont les asymptotiques de la surface réciproque de la surface de Sleiner Le« seitiques sont le< récipntques des surfaces développables qui ont de> quarliquo p*»ur arêtes de rebroussement.
I.e> paragraphes qui suivent peuvent être considérés comme un chapitre partiel de la théorie des quariiques et des sextiques.
\ ce ^u'icl. il ne sera peut-ètn^ pas inutile d*iiidii|uer le sens géométrique des deux e\]ualionN
* — «• et j ■= i».
Uela(i\ement ji la surface de St« mer. elles donnent lieu aux deux propositions suivantes :
K ytitnt domm^ unr guartigur^ l'eiix^loppe des plans gui coupent cette coui^ tn ^Mul/y /kmm/j rgtéiharmomigues est ta sur/ace du second ordre que i\^ fwmt iHemtr /mr ta guKfrttgue,
IL A^HtiMl ii%mner Mir guAtrUgue, l'en\>eloppe des pians gui coupent cette C«M«Hk fn ffmttt^ points harmonigues est la sur/ace de Steiner dont cette fmirftfM» tfti mmt as% mptottgue.
SUR LA 9URKACK RÉCIPHOQUK DK LA SIIRFA<:K DK 8TKINKR. 299
Telle est Tëquation de la quadrique ^^ qui contient la ligne nodale; en conservant les notations du § I, on voit que cette
équation est
D'après le Tableau A, Téqualion générale des quadriques ^p, contenant les nodales relatives aux diverses asj'mptotiques de la snrfiii!e, sora donc
le rapport {jl I X étant lié au rapport p : 6 par la relation
t = ?p(3yop-- iqO)
X ,opt-3e,
Toutes ces quadriques, ainsi que les quadriques 8p, sont comprises dans le réseau (i, A, k).
20. On peut, par um* quartique donnée >)L, faire passer une infinité de surfaces réglées du troisième ordre. Prenons, en eflfet, arbitrairement une corde de cette courbe, c'est-à-dire une droite s'appnjant sur elle en deux points; tout plan passant par cette corde Gxe rencontre de nouveau la courbe en deux points. Le lieu des cordes mobiles qui les joignent est évidemment une surface réglée du troisième ordre a^ant la corde fine pour ligne double.
Il est facile d^obtenir Téqualion de cette surface.
A cet effet, je considérerai le covariant du sixième degré de u
L = (rt«rf-h 365— 3flr6c)/«-f-. . .
{on sait que tous ses coefficients s'annulent pour les points de la ligne nodale) et Témanant principal de L
dt* at*ch dtdx^ dz^
Téquation
Lu = <>
représente une surface du troisième ordre qui contient la quartique 01^; il est facile de voir que cette surface est réglée. On a, en effet, en conservant les notations précédentes et en
Ho» UKOMÉTRIE.
posant, pour abréfçer,
Tidentilé suivante
d'où l'on voit (|ue IVquaïion de la surface peut se mettre sous la forme
équation d'une surface réglée dont les diverses génératrices sont données par le système simultané d'équations
011 A désigne un paramètre arbitraire.
