Les équations de la droite double de cette surface sont

»:* = o et C = o,

et telle est l'équation générale (renfermant deux paramètres arbitraires t et /') des cordes de la quartique.

La seconde directrice rectiligne de cette surface a pour équations

u = o et //'— o.

( ' ) Sur retle identité, voir {Bulletin de la Société philomaihigue et journal

L'Institut, mars 1873), nia Note Sur les covariants doubles des /ormes binaires,

Lii proposition fondamentale relative aux covariants doubles peut s^énoncer

ainsi :

Ktant (tonné un système quelconque S de formes binaires, tout covariant double de ce système peut se mettre sous la forme

(A), (IJ), ... désignant des émanants des formes A, B, et ces formes étant elles-mêmes des covariants du système S; w représente le covariant double général

jcy' — yx'.

Depuis la publication de la Note dont je viens de parler, j*ai reconnu que M. Clebsch s'était appuyé sur la même proposition dans son Ouvrage sur les formes hinajres; je crois toutefois pouvoir faire remarquer à ce sujet que, dès iWJo, je l'avais communiquée à M. Hermite en lui faisant connaître les premiers principes d'une nouvelle théorie des formes binaires qui est restée inédite.

SUR L.V SURFACE IlÉClPROyUK DK LA SUUFACK DE STEINEH. 3oi

Si l'on (convient d'appeler droite appartenant à une développable les droites qui résullenl de l'inlerseclion de deux plans tangents à celte développable, on peut donc (énoncer la proposition suivante :

Xh^ob^ème V. — Etant donnée une quartique quelconque y cette courbe est la ligne nodale d'une surface développable du siœième ordre et de la quatrième classe; par toute droite appcir tenant à cette surface développable et la quartique ^ on peut fcLire passer une surface réglée du troisième ordre.

Li^équation générale des surfaces réglées du troisième ordre passant par la quartique ^ peut se mellre encore sous une autre forme remarquable, et qui résulte de l'identité

(/x— /'T)Lo=aH'— //'H; d^où réqnation

aH'— m'H =o

et la conséquence suivante :

courbe d'intersection fie deux cônes quelconques appartenant à V asymptotique Z et la quartique )î) sont situées sur une même surface réglée du troisième ordre.

Celle même surface réfçlée contient aussi la courbe du dixième ordre qui est Tintersection (partielle) des surfaces dévcloppables dont les arêtes sont les deux cubiques suivant lesquelles la surface <K est touchée par les deux cônes dont je viens de parler. Ces deux surfaces (t;o«r n" 12) ont, en effet, pour équations

ju — i H = o et ju' — / H' = o ;

en éliminant j et «, on obtient l'équation précédente, ce qui démontre la proposition énoncée.

^. Lorsque Ton fait

l' — ty

les deux directrices reclilignes des surfaces du troisième ordre se confondent, et l'on obtient les variélés singulières signalées par

UKOMETRIE.

M. Cayley (voir Salmojn : Analytic Geomelry of three dimensions y § ii7).

L'<'qnation de ces surfaces est L = o.

!2i. Par la sextique Z et la qiiarlique 'Ki, on peut faire passer une infinilé de surfaces du quatrième ordre dont réqiiation est

3ya — 'je H = o.

Je ferai remarquer encore, et je reviendrai plus tard sur ce sujet, que la ligne nodale X est située sur la surface de Steiner 6, qui est la polaire réciproque de «X par rapport à la quadrique^.