L'équation

donne lieu à une remarque importante.

C'est IMntégrale de Téquation d'Euler qui sert de base à la théorie des fonctions elliptiques.

D*où la proposition suivante :

Th^.orème VI. — Si Von peut circonscrire un polygone gciuche à une sextique, on peut lui circonscrire une infinité de polygones du même nombre de côtés.

Remarque. — Il est clair que, pendant que les côtés du polygone roulent sur la sextique, ses sommets décrivent la quartique ^. On a ainsi un polygone mobile dont les sommets se meuvent sur une quadrique, tandis que ses côtés enveloppent une courbe tracée sur une autre quadrique; c'est un point particulier d^ine question digne, je crois, dMntérét, et sur laquelle je reviendrai. Je me suis déjà occupé du problème général dans une Communication faite à la Société philomathique, en m^appuyant sur l'extension à l'espace de la théorie de Jacobi relative aux courbes planes du second ordre, extension que j'ai fait connaître dans une Note pré-

(*) Ici, pour simplifier récriture, j'ai fait, comme je le ferai souvent dans la suite, T = t'= I.

3o4 QÉOMKTHIK.

semée h rinslltiit surV Intégration d'une certaine c/asse d'équations différentielles,

27. En particulier, si Ton peut circonscrire un triangle à une sexli(|ue Z, on peut en circonscrire une infinité; en d^autres termes, si Ton peut mener un plitn tritangent à la sextique, on peut lui ea mener une infinih'.

Si l'on se rcporle \\ la relation

on verra facilement (]ue ce cas se présente quand on a

Comme l'a remarqué M. Cremona(*), cette relation signifie que les quatre points cuspidaux de Z sont en rapport équiharmonique. On peut donc énoncer la proposition suivante :

Quand les quatre points cuspidaux d'une sextique sont en rapport équiharmonique y on peut mener à cette courbe une infinité de plans tritangents.

Je montrerai plus loin que, dans ce cas, la sextique est située sur un cAne du second defçré.

28. La considération de l'équation Jj,=ro montre aussi facilement que la condition, pour que l'on puisse circonscrire à la sextique Z un quadrilatère, est

D'où, en se reportant aux observations déjà citées de M. Cremona, la proposition suivante :

Quand les quatre points cuspidaux d'une sextique sont en rapport harmoniquCy on peut lui circonscrire une infinité de quadrilatères gauches,

(') Voir les Notes de M. Cayley Sur les torses sextiques déjà citées.

SUR LA SURFACE RÉCIPROQUE DE LA SURFACE DE 8TEINER. 3o5

M. Cayley a remarqué (* ) que, quand Ton dij\=Oj la sexlîque csl Tarête de rebroussement d'une surface développable circonscrite à deux quadriques se touchant d'un conlacl simple. On peut donc énoncer le théorème suivant :

Quand deux quadriques ont entre elles un contact simple, on peut circonscrire une infinité de quadrilatères gauches à U are le de rebroussement de la surface développable circonscrite à ces deux quadriques.

V. — Digression sur les covariants doubles des formes binaires.

29. Comme, dans tout ce qui suit, les covariants doubles des formes u et eu se présentent très fréquemment, les considérations suivantes, quoique très simples, ne paraîlronl peut-élre pas inutiles.

Soient les formes u{x^y) et iu(a7,j^), dans lesquelles j'ai, pour un instant, substitué aux variables t et t de nouvelles variables x

cl Y'

On a évidemment, en conservant les notations précédentes,

u{tx -^ i'y,'zx 'h'z'y)= ux*-+- :iC'x^y -¥- 6CoX^y*-h ^Cxjr*-¥- u y^^

et de même

c«>( rar -4- t* y^ -zx -\- t' r ) — wx^ -+- 4 ^'x^y -+- 6.fo^*J^* -H 4 ^opy^ h- a>'^*,

en posant ^

Soit maintenant F un covariant double quelconque de u et de (u ; on a, par suite de la définition même des covariants.

F(a, 6, . . . , a, ?, . . . , ^j: 4- t'y, -.x -h z'y, tx' -h t'y', x jr'-r- xV ) = (<x'- t'-zy^n F(a, 6', . . . , 0), J', . ..,x,y, x',y')\

( ■ ) Notes Sur les torses sextiqiies déjà citées.