Outre l^invariant
as — 4^o-+-6cY — 4<^3-Hcx,
c|iii est identiquement nul, les deux polynômes zz et co ont un autre invariant, du premier degré relativement aux coefficîenls
de Uj
Ao=a(Ye — 8*)-+-!i6(YÔ — 32)4- cCae i- 2^8 — Sy^) 2c/(Py — ao)-h e(aY — ?*)•
L«^ équation Ao= o représente un plan R; pour trouver les points
d^inlersection de ce plan avec la sextique Z, il faut remplacer a,
fe, c, ... par leurs valeurs tirées du Tableau B; le résultat devant
être un covariant de co, il suffit de calculer son terme du degré le
plus élevé et par conséquent de (aire ay 6, c égaux à zéro, et
r/ = a/û et e — \^t^\ il vient ainsi, comme premier terme de ce covariant,
d'où Ton conclut que les paramètres des points où le plan H rcn-
3o8 OéOMÉTRIE.
contre la sexlîqtie Z sont les racines de réquatîon que Ton obtient en égalant à zéro le covariant du sixième degré de ci> (*).
Les paramètres des quatre points stationnaires de Z étant les racines de l'équation (0 = 0, on déduit de là et des propriétés bien connues du covariant du sixième degré d'ane forme biquadratique la proposition suivante :
Théorème VIII. — Les quatre points stationnaires d'aune sextique Z peuvent être partagés de trois façons différentes en deux groupes de deux points; à chaque mode de groupement correspond sur la courbe une division en involution donnant lieu à deux points doubles. Les droites qui joignent les trois couples de points doubles sont situées dans un même plan n, qui est le plan central de la sextique.
Comme je le montrerai plus tard, ces trois droites sont situées sur la surface DC, dont Z est une asjmptotiquc.
32. Il est facile de conclure de ce qui précède qu'il ne peut exister d'autres covariants de u et de co, du premier degré par rapport aux coefficients de //, que ceux que je viens d'examiner.
En égalant, en effet, à zéro un tel covariant, on a l'équation d'un plan qui rencontre Z en six points dont les paramètres sont les racines d'une équation que l'on obtient en égalant à zéro un covariant de (o du sixième degré. Or il n'existe qu'un seul covariant de ce degré; la proposition que je viens d'énoncer est donc démontrée.
De là diverses conséquences importantes.
En premier lieu, h^ étant le seul invariant linéaire par rapport aux coefficients de u (sauf at — 4^S -j-. . ., qui est identiquement
(*) Les points cuspidaux d'une sextique sont souvent désignes sous le nom de points stationnaires.
Pur tout point {t) d'une sextique Z, on peut mener en effet un plan P osculatcur de cette courbe et différent du plan (/); le paramètre t' de ce plan s'obtient en égalant à zéro l'émanant
,7'=^(a<5-+-3pf'-t-3Yf -4-6) -hO/>-f-3Y/'4-36/-f-t)=o.
Si le panimùtrc {t) satisfait à la relation u) = o, on voit que l'on a <'= I et le plan 1* >c confond avec le plan (/).
SUR LA SURFACE RÉCIPROQUE DE LA SURFACE DE STEINER. Sog
Dul), si Ton passe de la sexlique Z à la sexlique Zp, en employant les substitutions dont j*ai parlé au paragraphe I, Iiq devra, à un facteur numérique près, conserver la même valeur; et, en effet, on vérifie facilement que Ton a, en conservant les notations de ce même paragraphe,
/i;=(ex-fjip)«/io.
D'où la proposition suivante :
Théorème IX. — Toutes les sextiques qui sont les asymptotiques d^une surface DC ont même plan central.
Je dirai que ce plan est aussi le plan central de DC ; comme je Tai déjà fait observer, il coupe cette surface suivant trois droites.
33. Équation de la surface du quatrième ordre qui contient les lignes nodales correspondant aux asymptotiques de la sur^ faceîH.
Pour tous les points de la courbe J^, qui est la ligne nodale de la surface développable ayant Z pour arête de rebroussement, on a
ac — b^ ad — bc ae -i- ibd — 3 c' èe — cd __ ce — ^* __ 3/ a ~ 'ib ~ 6c ~~ id e oti
On déduit de là
4/10 21 6/^0 -h ik =z Oj
d'où
et encore
(12) 6y7io -4- ik — h^= o.
Cette équation représente une surface du quatrième ordre Û qui contient la nodale X; en se reportant aux formules (3) du Tableau A, on voit que Ton a
en vertu de la formule donnée dans le numéro précédent, on a donc identiquement
6y7ii -i- i' k' -^ h'^ = ( OX - iip )« [ 6jho -h ik - A« ] ;
OKOXETRIE.
d^où Ton (lodtiil facilcinenlquela surfaccûcontienllesnodales^P, donl le lieu est ainsi donné par Téquation (12).
3i. II y existe un poinl O de Tespace donl les coordonnées s^exprinieiit nu moyen des coefficienls de u et du hessîen de u.
Les coordonnées de ce point sont déterminées par le système suivant d'équations
3yo3t — v.iy(aY — {J-)
ao — a- . • •
ij
. ae -H !i Ôo — 3 Y* oY-itQ 1^ ^
On vérifie facilement que les quantités a^ b, c, . . . sont les coordonnées d*un point, car elles satisfont identiquement à la relation
at — i//o-f-6rY — 4^?"+"^* = ^-
Cela posé, si Ton détermine le plan polaire du poinl O par rapport à une quadrique (|uelconque du réseau (i\ A, A:), c^est-à-dire à une quadrique donl Téquation soit de la forme
il est clair que Téquation de ce plan s'obtiendra en égalant à zéro un invariant de u et de m, du premier degré par rapport aux coefficients de u.
Diaprés ce que j'ai dit plus liaul, son équation est nécessairement
t hi) = o.
D^oii la proposition suivante :
TnÉoRÈMK X. — Le plan central II de la surface DC a même pôle reladi'cmenl à toutes les quadriques du réseau {i, h, k ).
Je dirai que ce pôle est le centre de la surface DC et des diverses sextiques qui sont les asymptotiqucs de cette surface.
