VII. — Sur les droites qui sont situées sur fa surface îX

35. Si une droite peut être placée sur la surface 9C, elle rencontre S en deux points silués sur l'asymptolique Z. Celle droite

3ll

est donc une corde de la sexliqne Z. Pour irouver la relalion qui existe entre les paramètres des exlrémilés de celte corde, je supposerai qu'ils soient respectivement o et oo, en faisant

D'après le Tableau B, les coordonnées de ces points seront donc

el

Désignons par x un paramètre variable; les coordonnées d^un point quelconque de la corde seront données |)ar les équations

€Z ^ 4 3» ^= — Ê» C = 0, d = Y.OLj e = 4î^?'

On a

— e o XX

o va — 4>t?

= 4x(6»p — xa'o);

d^où Fon voit que la valeur du paramètre x correspondant au troisième point de rencontre de la corde avec DC est donnée par

réqiiation

e'P — xa'o = o;

si la corde est située tout entière sur la surface, cette équation doit être satisfaite pour une infinité de valeurs de x. On doit donc

avoir

e' P = o et a' 8 = o ;

d^où l'on déduit, d'après les propositions données n" 29, les relations suivantes, qui existent entre les paramètres des extrémités d^une corde de Z située sur la surface,

el

OU bien

(al'*-+.4pr'»-i-6Y<'*-h48''-+-0*

et

(a/*-4-4pr»-+.6Y^»-h4or-hE)«

x[<(ai^'-h3p/'»-h3Yf'H-8)-t-(p/'3

3Y^'*-h38f'-hE)] = ow

3l3 GÉOMÉTRIE.

36. On peut satisfaire à ces relations de deux façons distinctes :

1^ En faisant

(i> = o et co' = o.

Les racines de ces équations sont les paramètres des quatre points

slalionnaircs de Z (qui sont les quatre points coniques de OC); on

en conclut que les six arêtes du tétraèdre dont ces points sont les

sommets sont situées sur la surface.

2" En faisant

,T = o et J' = o.

Pour résoudre ce svstème dV*quations, je remarque que, en éliminant t^ entre ces deux équations, le résultat est un covariant dont le premier terme esl

Ce covariant est donc coFo, Fo désignant le covariant du sixième degré de co.

Laissant de côlé le facteur étranger co, on voit que les paramètres des extrémités des cordes cherchées seront les racines de l'équation

ro = o.

Soient 5|, ^2 et ^3 les racines de Téquation (')

z^ — f 0 a -I- 2/0 = o ; on sait que Y^^ est le produit des trois facteurs

v/^iW — 'ir, , /ijw — ^T^, /53W--2T1

OÙ T, représente le hessicn de co.

Les deux racines de récpialion

y/^i tu — 'ir^ = o

sont les paramètres des extrémités d'une rorde située sur la surface. Je désignerai celte corde par la lettre Df. Aux deux autres facteurs correspondront deux autres cordes D2 et Ds ; il suit d'ail-

(') Voir Salmon, Algèbre supérieure, p. 180 et suiv.

SUR LA SURFACE RECIPROQUE DE LA SURFACE DE STEINER. 3.l3

leurs de ce que j'ai dit au n** 31 que ces trois droites sont Tintersection de la surface dC par le plan central n (*).

A celte occasion, je ferai remarquer que le théorème donné au n®31 peut s^énoncerd-une façon un peu plus générale delà manière suivante :

aSî l'on coupe une asymptotique quelconque DC par une quadrique du réseau («, A, Ar), cette quadrique rencontre la courbe en quatre points distincts des points coniques. Si Von partage d'aune façon quelconque ces points d* intersection en deux sysièmes de deux points, la droite qui joint les deux points doubles de l'im^olution déterminée par ces deux systèmes est une des droites de la surface DC située dans le plan central.

VIÏI. — Pôles et plans polaires relativement à la sur/ace S.

Applications diverses.

37. Considérons un point dont les coordonnées soient a', i', ^^ d, e'.

L^équalion du plan polaire de ce point, relativement à la quadrique S, est évidemment

,di ,,(ti ,d{ ^ di ,di

''d^^^Tb'^"dc-^'^'dd^'d-e=''^ ou bien

ae' — 4 bd -f- 6 ce' — .{ db' -f- ea' = o.

Si la quadrique S est telle que Ton ait /© = o? '^s coordonnées du centre de la surface tK (n° 34) sont a, p, v, 5, e. L'équation du plan polaire de ce point est donc

«e — 4^0 -4- 6cY — id^ -h eoL = Oj

et, cette relation étant identiquement satisfaite, on en conclut que le plan polaire est indéterminé; par suite :

Lorsque, pour une asymptotique Z, on a «o= o? cette asym-

(*) II 'est clair que tout ce qui précède suppose que la forme o) ne présente aucune particularité. J'examinerai plus tard les cas particuliers où u aurait un facteur triple ou deux facteurs carrés.

ptotitjue est située sur un cône du second degré dont le sommet est le centre de la courbe.