Soit un plan

on voil immédlalemenl que les coordonnées du pôle de ce plan sont données par le syslème d^équalions

•1 ï'o oiy — «a 1 f 0 Y'-i " **? ^ 'o Vo — '«Y '-i *o ôo — h8 2 1*0 «0 — «* où j'ai posé, pour abréger,

« = «0 — 4 ?^o — Cyyo — 4opo-H ^*0'

Il est facile, en effet, de v«*rifier :

i" Que les quantités déterminées par les équations précédeales

sont effeclivenient les coordonnées d'un point, car elles satisfont

à l'identité

ae — 4^^ -*- fie Y — hd^ -{- e% = o\

2° Que le plan polaire de ce point, par rapport à S, est le plan donné.

39. Comme application des formules précédentes, considérons un plan tangent quelconque à la surface cK. Comme nous l'avons

vu (n" 18), son équation est

<i:o= ar»/'»-h 26(//'*-+- /»/')-h c(/'-i- 4'^'-H r'»)-h arf(f -ht')-\-e^o\

on a, dans ce cas,

t'^Of

et les coordonnées du pôle de ce plan sont données parle système d'équations

io—^oOL — fo( /-+-/')— ^0? *' 2lof*/'«— ^06

Supposons le point tellement choisi sur la surface DC que Ton

ait

SUR LA SURFACE RÉCIPROQUE DE LA SURFACE DE STEINER. 3l5

les coordonnées du pôle seront données par les équalions

a 'ib e

I —(/-+-/') tU'i

en se reportant au n^ 25, on voit que le point ainsi déterminé est le point de la nodale J^j qui est l'intersection des tangentes (/) et (^); le pian polaire de ce point touche par conséquent la surface ^C au point [t, t').

D'où encore cette conséquence :

surface développable, qui est la polaire réciproque de la nodcile JIS» relativement à la quadrique S, est circonscrite à DC.

40. D'après ce que je viens de dire, on voit que la surface de Steiner S, qui est la polaire réciproque de ^ relativement à la quadrique S, contient la nodale DC.

Cherchons Téquation de cette surface; il faut^ pour Toblenir, éliminer t et t' entre les équations (i3). À cet effet, x désignant une quantité inconnue, je suppose que la valeur commune des

rapports contenus dans ces équations soit égale à -r-* On mettra facilem ?nt ces équations sous la forme suivante :

a«oX__a-f-xa b -hY.^ c-hXY __ e-4-xe

Je remarque maintenant que ces équalions expriment que la forme u •+• xw est un carré parfait; or, pour que cela soit possible, on doit avoir entre les invariants de e/ et de a> la relation suivante («) :

Dans cette formule, A et B représentent deux combinants qui, dans le cas actuel où

ae — 4^S-i-6cY — ^df^ -h e% = o, s'expriment, au mo^'en des invariants que nous avons introduits,

( « ) Salmon, Higher Algebra, §§ 213 ci 214.

3l6 GÉOMÉTRIE.

par les formules suivantes :

/' I = 4/0* et B=— - — -loi;

R représente le résultant des équations u et co. Par suite, la relation précédente (qui est évidemment Féquation delà surface Ç) devient

i44(X-*-ioO'— "ï^ = 0-

Il est clair que Féqualion R=o représente les plans osculateurs

de la sextique Z en ses quatre points stationnaires; ces plans

touchent la surface t^ le long de quatre coniques situées sur la

quadrique

Cette quadrique est la polaire réciproque relativement à S d*une quadrique Y à laquelle sont circonscrits les quatre cônes nodaii-x de la surface (*).

La forme de Téquation précédenle montre qu'elle représente une quadrique passant par Pintersection des deux quadriques /=o et A" = o.

Je dirai, pour abréger, que la quadrique Ar = o est adjointe à la quadrique 5(/ = o), et je la désignerai par la notation $'. Cela posé, la remarque précédenle donne lieu, relativement à la surface V, à la proposition suivante :

Thkohême XI. — Si l^on considère une quadrique quel-

(*) Puur un point conique de la surface OC, l'équalion (■) = o étant satisfaite, de la formule donnée ( u* tO) il résulte que Péquation du cône, circonscrit à «H et ayant ce point pour sommet, est

Le cône circonscrit e>t donc un cône du second degré double: c'est un des cônes nodaux de la surface.

Il est important de remarquer que les quatre cônes nodaux appartiennent à toutes les asymptotiqucs.

Sur ces cônes, et en général sur la théorie de la surface qui fait l'objet de ce Mémoire, voir :

Stuhm, UOer die /iômisc/ie Flàche von Steiner {Math. Ann., III);

EcKAHDT, Beilrâge zur analytisclien Géométrie {Math. Ann., V):

TowxsEND, On the JS'odal Cônes of Quadrinodal Cubics {Quarterly Journal, \).

SUR LA SURFACE RÉCIPROQUE DE LA SURFACE DE STEINER. Siy

conque Sp, passant par une asymptotique de DC, et la quadrique axijoinie ôp, la développable, circonscrite à S^ le long de leur intersection, est circonscrite à la quadrique T.

Réciproquement, si l'on circonscrit à X et à Sp une sur/ace développable, la courbe suivant laquelle cette développable touche ^p est située sur ^p.

IX- — Sur les fonctions qui jouent te rôle d'invariants relativement ctuoT substitutions qui permettent de passer d*une asymptotique DC au:c autres asymptotiques de la surface.

'il. Étanl donnée une as^'mptolique quelconque Z de la surface DC, on peut, en général (sauf un cas particulier que j'examinerai loul à rheure), en déduire toutes les autres asymptotiques au mojen des substitutions dont j'ai parlé au paragraphe I.

Oes substitutions peuvent être définies par le système linéaire

et il y existe un certain nombre de fonctions des coefficients a, by c, - . . qui, quand on y eflectue ces substitutions, ne changent pas de valeur, ou, pour parler plus exactement, sont simplement multipliées par une puissance de (ojjl — X8).

Ces fonctions, lorsqu'on les égale à zéro, représentent des surfaces indépendantes de l'asymptotique particulière qui sert de base an système de coordonnées et ne dépendant que de la surface OC elle-même.

Telles sont, par exemple, les fonctions ik — /i^ et Aq, qui donnent lieu aux relations

l'A:'— /r» = (pji--XO)»(/X -//^) et

L'équation ik — h'^ = o représente, comme nous l'avons vu, l'enveloppe des quadriques ^p, et l'équation /io= o est celle du plan central.

Les fonctions qui jouissent de celte propriété jouent évidemment un rôle important dans la théorie de la surface DC; outre

3l8 GÉOMÉTRIE.

celles dont je viens de parler, il esl facile d'en trouver plusieurs autres.

Il résulte, en eflfet, des formules données au n^ 7 du paragraphe I, que, par la substitution

les formes

IX* -h ih ry -*- ky^ et x* — i^xy^ -4- Tij^y*

se changent respectivement en

i^ x^ -h 1 h' xy -h k'y^ et ar* — i^ xy^ -h ij'^y*.

De là résulte que les invariants de ce système de formes sont des fonctions jouissant de la propriété dont je viens de parler.

Nous aurons à considérer (*) :

1° L'invariant quadratique

il i -\- iS/oh -h 3 1*0 A: ;

je désignerai par 6 la quadrique dont Téquation s'obtient en égalant à zéro cet invariant;

2® Le résultant de ces formes ; j'étudierai de préférence les facteurs de ce résultant.

En désignant, comme au n"" 36, par Si, z^ et z^ les trois racines

de Téquation

;;'— t'oz -+- 9yu= o,

je m^occuperai des surfaces représentées par les équations

z\i -\- 2Zih-h k ■= o, zli -h 2Zih -h k = o, zl i -h ^.z^h -h k = o.

(•) Salmon, Algèbre supérieure , § 157.