SLR UN PLAN DE LA SURFACE DU TROISIÈME ORDRE
Bulletin de la Société mathématique de France; 1872.
1 . On dit qu'une surface S peut êlre représentée sur un plan P, lorsque à chaque point M de la surface correspond un point unique el bien déterminé du plan, et réciproquement lorsque à chaque point du plan correspond un point unique el bien déterminé de la surface.
Lorsque le point M delà surface décrit une courbe, le point m, qui lui correspond sur le plan, décrit une autre courbe qui est, pour ainsi dire, Fimage de la première, et Ton comprend que les propriétés des courbes tracées sur la surface puissent se déduire de celles des courbes qui sont leurs images.
La projection sléréographique, qui constitue un des moyens que Ton peut employer pour représenter, dans le sens que je viens d'indiquer, la sphère sur le plan, a déjà depuis longtemps familiarisé les géomèlres avec ces considérations qui permettent non seulement de transporter à la sphère les propriétés descriptives et métriques des figures planes, mais encore, en sortant de la sphère, d'établir des propriétés importantes des figures dans Tespace.
Le but de cette Note est d^appliquer la même méthode à Tétudc d'une surface remarquable du troisième ordre, que j'ai déjà étudiée analytiquement dans les ISIoit\'elles Annales de Mathématiques (*).
( * ) liecherches analytiques sur la sur/ace du troisième ordre qui est la réciproque de la sur/aoe de Steiner, u' série, l. XI, 1872.
3aO OKOMKTIIIK.
2. 11 est facile de voir qiiNine surface quelconque du troisième ordre peut ôtre représentée sur un plan.
Une telle surface contient en général 27 droites; soient DelD deux de ces droites qui ne sont pas dans un même plan.
Pur un point M de la surface on peut mener une droite unique et bien déterminée ({ui s'uppuie sur D et D', cette droite rencoQtrcra un plan 1^ arbitrairement choisi en un point bien déterminé m\ réciproquement, le point tn étant donné, on ne pourn mener par ce point qu'une droite s'appujanl sur D et D'; cette droite rencontrera la surface du troisième ordre en deux |)oinU situés respectivement sur D et D', et en un troisième point ot distinct de ces points et parfaitement déterminé.
On obtient ainsi, on le voit, une représentation de la surrac:^ sur le plan P; on aurait évidemment pu, dans le même bi.stf employer au lieu des droites D et D' une cubique gauche qu^»* conque tracée sur la surface, car une des propriétés caractéri ^" tiques de cette courbe consiste en ce que, par chaque point ^^^ Tespace, on ne peut mener qu'une seule droite qui la rencontre deux points (').
3. Dans ce qui suit, je m'occuperai spécialement de la rep sentation sur un plan de la surface du troisième ordre S qui con tient les six arêtes d'un tétraèdre T.
En prenant ce tétraèdre pour tétraèdre de référence, on voit qu Téquatiou d'une pareille surface est de la forme
X y z II
La surface qui lui est réciproque (c'est-à-dire la surface qui est, par rapport à une surface du second degré, le lieu des pôles (les plans (|ui lui sont tangents) est une surface du quatrième ordre; et celte nouvelle surface jouit delà propriété d'être coupée
(') Snr la r:'pr.*sciiiali«>n sur un plau d'une >urfaco du troisième ordre, voir le licau Mémoire de M. Cremona : Sur les surfaces du troisiùme ordrej et la Géométrie de situation, de M. Heye, p. 172 et 2()9.
M. Cremona a aussi publié {Comptes rendus de l'Institut lombard, 18C7) ui» Mémoire sur la rcprcsentali(»n bur un plan de la surface de Steincr, mais je n'ai pu en prendre connaissance.
