REPRÉSENTATION SUR UN PLAN DE LA SURFACE DU TROISIÈME ORDRE

suivant deux coniques par chacun de ses plans tangents, c'est donc la surface dite de Steiner.

On en conclut que, si Ton considère un cône circonscrit à S, et ayant pour sommet un point de cette surface, ce cône se compose de deux cônes du second degré ; la courbe de contact se décompose aussi en deux courbes distinctes qui sont évidemment des cubiques gauches.

4. Quand on étudie la représentation sur un plan de la surface S, on voit facilement que Ton peut eiTectuer la représentation de telle sorte qu'à toute courbe plane de S corresponde, sur le plan, une cubique passant par six points fixes (II) qui sont les sommets d'un quadrilatère complet Q, et qui correspondent d'ailleurs aux six arêtes du tétraèdre situé sur S.

Cela posé, soient  et B deux points de S et a, 6 les points qui leur correspondent sur le plan; soient, de plus, G le troisième point où la droite A6 rencontre S et c le point correspondant.

Toutes les sections planes de S, qui passent par A et B, passent «gaiement par le point C; les cubiques qui sont leurs images passent donc aussi toutes par le point c, d'où il suit que ce point est le neuvième point commun aux cubiques qui passent par les points a et 6 et les six sommets du quadrilatère Q.

Pour déterminer facilement ce neuvième point, supposons, pour un instant, que les points a et b soient les ombilics du plan, c^està-dire les points de Tinfini où se croisent tous les cercles de ce plan. Si Ton délaisse un des côtés du quadrilatère Q, les trois autres côtés déterminent un triangle, et le cercle circonscrit à ce triangle constitue, avec le côté dont j'ai parlé, une cubique passant par les huit points a, b et (II); ce cercle passe donc par le neuvième point.

D'où cette proposition :

En prenant, trois à trois, les quatre côtés d'un quadrilatère complet, on détermine quatre triangles; les cercles circoncrits à ces triangles se coupent en un même point O, qui est le neuvième point commun aux cubiques qui passent par les ombilics du plan et par les six sommets du quadrilatère.

Imaginons la parabole inscrite dans ce quadrilatère, les quatre