Soit f{x) un polynôme entier et posons

V{x) =f{a^x) = /(a ) -^xf(a ) -^ f^ /'(a) n-. . .,

h désignant un nombre positif, il résulte de ce qui précède que le nombre des racines de Téquation Y{x) = o qui sont comprises entre o et A, ou, en d'autres termes, le nombre des racines de l'équation f{x) = o qui sont comprises entre a et a 4- A, est au plus égal au nombre des alternances de l'expression

En posant

F(.r) = /(a-^) = /(a)-x/'(a)-Hfl/'(a)+...,

on verrait de même que, h étant une quantité positive, le nombre des racines de l'équation f{x) = o, qui sont comprises entre a et a — A, est au plus égal au nombre des alternances de la suite

On peut donc énoncer cette proposition :

/{x) étant un polynôme entier y a et h deux nombres quelconques positifs ou négatifs, le nombre des racines de l'équa-

SUR LA THEORIE DES EQUATIONS NUMERIQUES. I l

lion /{-r) = o qui sont comprises entre a et a-{- li est au plus égal au nombre des alternances de la suite

m. • Ji

etj si ces deux nombres diffèrent, leur différence est un nombre pair.

Remarque. — Considérons les diverses quantités

/(«), na)^hf\a), f{a)-^hf\a)^^r(a\ ...,

dont la dernière est précisément /(a -h A), et soient respectivement P et Q la plus petite et la plus grande d'entre elles; toutes les expressions

seront positives; il en résulte, si Ton pose f{x) — P = ç(^), que la suite

ne présente pas d'alternance. L'équation f{x) — P== o n'a donc aucune racine comprise enlre aela -\- h\ on prouverait également qu'il en est de même de Féquation f{x) — Q = o ; d'où cette conclusion importante :

Lorsque x varie depuis x = a jusqiCà x=za'\- h, la valeur du polynôme /(x) demeure constamment comprise entre les nombres P et Q.

7. Le théorème précédent n'est qu'un cas particulier d'une proposition plus générale, qu'il est facile d'établir directement et que l'on peut énoncer de la façon suivante :

/(x) désignant un polynôme entier du degré n, soient co un nombre arbitraire, a et b deux nombres quelconques ne com-

i .' ALOKBIiK.

prenant pas entre eux le nombre w: cela posé, si ion désigne par V le nombre des alternances que présente la suite

(I) AJ")-+-(W — J*)/(X)-T / (X)-r-.. .H /"CT),

quand on y remplace x par a y et par V le nombre des alternances de cette suite quand on v remplace x par i, le nombre des racines de f équation fix) = o comprises entre a et b est tiu plus égal à la valeur absolue de la différence V — \ '. Si les nombres a et b comprennent w, le nombre des racines cornprises entre a et b est au plus égal à la somme V H- V; dans les deux cas, la différence des deux nombres, si elle existe, est un nombre pair.

Pour établir celle proposition, je remarquerai qu'en posant, pour abréger,

l , = /", x\-^ xio — .r)j" { X ».

MO — .r '- . I lu — X

l'i = f\ jr i — (tu — j* ■ /"'» ,r » '■ — f \x^ — ... — —.— /*' i X ».

le nombre îles alternances de 1 1 suite i O, pour une valeur donnée

de J", est le nombre des Nariations des termes de la suite l o- l- 1

l/i, l'/, 1 1^1 l „, dont la dernière est la constante /*<t.j).

En supposant, pour lîxer les idées. <i <; /* <^ (•>, examinons comment peut se modilier ce nombre do Nariations. quand .r croît d'une l'açon continue depuis ,r = a jusqu'à x =^ b.

Soit une fonction intermédiaire l -, qui s'annule pour une \aleur a do x comprise entiv a et />: le nombre dos Nariations de la suite ne peul changer si l |..i et L .^i sont do si;L:nes contraires.

Or on a évidemment

quantité qui a le mémo si^ne que /***. 2'. l n calcul tacib' ib>nn«* il'aillcur^

SUR LA THÉORIE DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. l3

d'où Ton voit que U;(a) et U/v,.i(a) sont de même signe. Si donc lJi i(a) et Uî4.i(a) sont positifs, U/(a) est également positif et {Ji{x)j étant croissant pour x = a, passe du négatif au positif, ce qui fait perdre deux variations à la suite considérée. Si, au contraire, U|i(a) et U/4.i(a) sont négatifs, lJi{x) passe du positif au négatif, ce qui fait perdre également deux variations. Il ne peut donc y avoir que des variations perdues, et en nombre pair, si l'une des fonctions intermédiaires s'annule quand x varie depuis X •=. a jusqu'à x =z b.

Quand la fonction Uo=/(^) s'annule, on voit qu'il y a toujours une variation perdue; la proposition est donc démontrée dans le cas où a et 6 sont tous deux inférieurs à co, et une démonstration entièrement semblable à la précédente s'établira facilement dans les autres cas.

Remarque /. — Si le nombre arbitraire w est supposé infiniment grand et positif, les fonctions Uq, U|, U2, ... ont respectivement les mêmes signes que les fonctions /(a:), f{x), /"{x), ..., et Ton retrouve ainsi le théorème de Hudan.

Remarque II. — Le nombre w étant une limite supérieure des racines de l'équation, la proposition précédente donne le nombre exact des racines de l'équation lorsque toutes les racines sont réelles et que les nombres a et b sont inférieurs à (o. La même chose a lieu, toutes les racines de l'équation étant réelles, lorsque ci> est une limite inférieure des racines et que a et b sont supérieurs à co.

8. La méthode que j'ai employée ci-dessus, pour obtenir une limite du nombre des racines de l'équation y(x) = o, qui sont supérieures à un nombre positifs, repose sur la remarque suivante,

f(x) à savoir que l'équation -•^-^^— - = o a ces mêmes racines et que le

développement de '^__ suivant les puissances décroissantes de x

est convergent pour toutes les valeurs de x supérieures à a.

Il est clair que j'aurais pu faire également usage du développe-

f(x) ment de l'expression -^ — -—9 où p désigne un nombre entier

arbitraire, et il est même facile de prouver que l'on obtiendrait

l'i ALGÈnRE.

ainsi, en général, une limite plus approchée. En désignant, en effet, par<ï>(»r) une série procédant suivant les puissances entières (croissantes ou décroissantes) de Xy on démontrera aisément que, a désignant un nombre positif quelconque, Texpression ^{x){x — a) (laquelle est généralement une série, mais qui peut accidentellement se réduire à un polynôme entier) présente au moins autant de variations que la série ^{x)\ la démonstration est enlièremenl semblable à celle du lemme de Segner, sur lequel repose la démonstration que ce géomètre a donnée de la règle des signes de Descartes.

Il en résulte réciproquement que, V{x) désignant un polynôme entier ou une série procédant suivant les puissances entières (croissantes ou décroissantes de x) et a désignant une quantité quelconque positive, le développement de l'expression — ^ — - présente,

au plus, autant de variations que le développement de Y{x)] on peut ajouter que, si les nombres de ces variations sont différents, leur différence est un nombre pair.

I^ même chose a évidemment lieu si Ton considère l'expres-

sion plus générale ' > où ç(x) est un polynôme quelconque

décomposablc en facteurs de la forme x — a, a étant réel et positif.

Ayant fait cette remarque importante, je considère Texpression

'^ ^ > oii/(x) désigne un polynôme entier, a un nombre po-

silif et p un nombre entier arbitraire.

Soient n le nombre des racines de Téquation f{x) = o, qui sont supérieures à ^, et V le nombre des variations que présente le développement de l'expression précédente, suivant les puissances décroissantes de jt; il résulte, des propositions énoncées ci-dessus, que n est au plus égal à V (leur différence, s'il y en a une, étant d'ailleurs un nombre pair); le nombre V ne peut que diminuer quand le nombre entier /? augmente : il ne peut pas d'ailleurs diminuer au-dessous d'une certaine limite, puisqu'il doit être toujours supérieur à /i.

Le point essentiel dans celte méthode, pour en déduire le nombre n avec le plus d'approximation possible, serait de déterminer exactement cette limite du nombre V, lorsque p grandit

indé(inimcnl; mais celle recherche paraît j)résenlcr de grandes difûcullés.

Je ferai, de préférence, usage de la proposilion suivanle :

Si Von met la fraction ~- sous la forme suivante :

\^x — a {x — «)* (a: — ay \

où les exposants a, p, ...,). vont en décroissant Çk pouvant être négatif)^ ce qui d^ ailleurs peut se faite d*une infinitélde manières, le nombre des racines de V équation f{x) = o qui sont supérieures au nombre positif a est au plus égal au nombre des variations des termes de la suite

et, si ces deux nombres diffèrent y leur différence est un nombre pair,

Soienl, en eflel, n le nombre des racines de Téqualion proposée qui sont supérieures à a, el V le nombre de varialions que pré-

senle le développemenl de -r-^ — ir suivant les puissances décrois-

santés de x^ on a, comme je Tai démonlré,

Désignons mainlenanl par Vo le nombre des varialions de la suite

el par V| le nombre des varialions que présente le développemenl en série de l'expression

on aura évidemment

V = Vo-f^V,.

Il résulte de ce qui précède que V| est au plus égal au nombre des variations que présente le développement du produit par

iG ALGEBRE.

{x — a) de l*expression (i), c'esl-à-dire au nombre des varialions du développement de

en désignant par V(5l, IB) le nombre des variations que présentent les deux quantités ^ et JD (nombre qui est d'ailleurs zéro ou Tunité), par V2 le nombre des variations que présente le développement de l'expression

X — a (x — a)* '** (x — aU>-i

on aura donc

V,^V(51,»)-hV, et, de même,

V,^V(».€)-hV,,

V:, désignant le nombre des variations que présente le développement de l'expression

d'où Ton déduira sans peine

V, f V Ca, B) H- V( B, € ) -h . . . -^ \(A, £), et de là résulte immédiatement la proposition énoncée.

9. L'application du théorème précédent se fait de la façon la plus simple dans le cas oii a est égal à l'unité, cas auquel se ramène aisément le cas général par un changement de variable, et en faisant usage d'un algorithme qui a déjà été employé par Homer et par Budan.

Cet algorithme consiste à former successivement, et par voie ré-

currente, les différents coefficients des développements de "^ » -^^- — —.y r— — ^' ••• suivant les puissances décroissantes de x.

Soit, pour fixer les idées,

f(x) = 1qX*~\- %xX^-^- xjar'-f- t^x^-^t- a^a^-t- a»;

SUR LA TIIKOIIIE DES ÉQUATIONS NTMÈRIQUES. 17

on écrira d'abord (Tableau A) les coefficients de cette équation (les coefficients des puissances qui manquent étant remplacés par des zéros), en les faisant suivre d'une suite indéfinie de zéros.

Au-dessous, dans une première ligne horizontale, on écrira une suite de nombres a©, «i, «a? •••» dont le premier est ao, chacun des suivants étant formé en additionnant le terme précédent avec le terme de la suite précédente qui se trouve dans la même colonne verticale, en sorte que (7| = ^/o-hai, ao=rt«-|-a2, ...; on voit ainsi qu'à partir du lerme «4 les termes suivants a^, a^, a^, ... sont tous égaux entre eux. Les nombres ainsi obtenus sont, comme

il est facile de le voir, les coefficients du développement de ■- — -

suivant les puissances décroissantes de x.

Au-dessous, dans une deuxième ligne horizontale, on écrira une suite de nombres 60, 6|, 62, ... déduits des nombres a©, a», tf^, ... comme ceux-ci l'ont été de ao, ai, aj, ..., en sorte que

ces divers nombres sont les coefficients du développement de

-^ suivant les puissances décroissantes de x,

En poursuivant et observant la même loi, on formera une suite de lignes horizontales

^0 ^1 cj Cs r^ . . . , d(^ d\ d^ dz dj, . . . , ^0 ^1 ^î ^8 ^4 . • •»

dont les divers termes donneront les coefficients des développe-

ments j^ ^> f^ -^ -—^ — -, ••., suivant les puissances de-

croissantes de x.

Si, en particulier, on considère les nombres a.,, 64, C3, d^^ ^M y©» îl est aisé de voir qu'à des facteurs numériques près posilifs, ils sont égauKà/(i),/'(i), /'(,),/'"(,),/"(,),/"(,); c'est dans le but de former ces nombres d'une façon commode et rapide que Budan faisait usage du Tableau précédent, et il résulte de son théorème que le nombre des variations, présenté par la suite de ces termes, donne une limite supérieure du nombre des racines

l8 ALUhUIlK.

de réqualion qui sont supérieures à Tuuité. Mais ou ])euL faire usage de ce Tableau d*une manière souvent plus avantageuse.

Tableau A.

a„ ot, ot, a, a^ Œj o o o

Oq ai Oi «3 «74 ^5 f/g a^ Og

Oq bi ùi 63 b,, bi bo b-i b^

Co . . Cl . . Cj . . C3 Ci Cj Ce c-i Cg ...

d^ . . d\ . . di . . «^3 . . d^ di d^ d-, ûfg ...

Co Cl Cj C3 €% Cl Ce e-i Cg

f^''f\'*ft-*f^ f\ fi ^8 fl f% • • •

g^ gl gl gi gi, gi g6 gl gè

En se reportant, en effet, à la façon dont a été construit ce Tableau, on voit sans peine que l'on a les identités suivantes :

Ci b^ a-

d'où résulte, en vertu du théorème énoncé ci-dessus, que le nombre des racines de l'équation /(x) = o, qui sont supérieures à Tunité, est au plus égal au nombre des variations que présente chacune des deux suites

^'O» Cl, Cj, C3, 64, «5

^/o, fl^i, ^5, ^3» (h^ ^5' ^6' ^'7

I3\me façon générale, si Ton convient d'appeler diagonale principale la diagonale qui renferme les nombres a-^^ 6^, C3, ci,^ ^,, /o et qui donne (à des facteurs numériques près positifs) les va-

SUR LA TIIÉOIUK DES KOUATIOXS XIMERIOVKS. UJ

leurs (ley(^) et de ses dérivées [)Our x = \ y on peut énoncer la proposition suivante :

hâtant /orme le Tableau A, si Con suit une ligne horizontale ijnelconque j usqiC à ce que Con atteigne on que Con dépasse le ternie correspondant de la diagonale principale et qu^ ensuite on parcoure le Tableau obliquement et parallèlement à cette diagonale jusqu^à la première ligne horizontale, le nombre des racines de V équation f{x)^=o, qui sont supérieures à l'unité, est au plus égal au nombre des variations que présentent les termes du Tableau que ran a rencontrés successivement pendant ce parcours ; et, si ces deux nombres di ffèrent^ leur différence est un nombre pair.

En se reportant au Tableau A, on voit ainsi tpie le nombre des racines positives supérieures à Tunité est au plus ép:al au nombre des variations que présentent les termes de la suite

yoï /i» fit fit ^if ^6» f^dt bi, CTg.

iO. Quelques exemples ne seront pas inutiles pour éclaircir ce qui précède.

Exemple /. — Soit Téquation j:;^ — ^x -f- 6 = o; pour avoir une limite du nombre des racines supérieures à Tunité, on formera le Tableau suivant :

La diagonale principale donne les termes i, 3, — i, 3, qui présentent deux variations^ Inapplication du théorème de Budan indiquerait donc la possibilité de deux racines.

Mais la suite i, 3, a, 2, 3, formée en suivant la troisième ligne horizontale jusqu^au terme -h 2 et en remontant parallèlement à la

ao ALOEBHR.

diagonale, n^oiïre aucune variation; Téqualion n^a donc aucune racine supérieure à l'unité.

Pour voir si elle a des racines inférieures à Tunilé, considérons

la transformée en ->

on formera le Tableau suivant

qui montre immédiatement que Téquation proposée n'a pas de racines positives; l'application delà règle des signes de Descartes à la transformée en — x fait voir d'ailleurs qu'elle a une seule racine négative.

Exemple IL — Soit Téquation

qui n'a évidemment aucune racine négative. Pour avoir une limite du nombre des racines supérieures à l'unité, nous formerons le Tableau suivant :

Les termes de la diagonale principale i, — i. i>, — a, a offrent ici quatre variations» et par suite Tapplicatiou du théorème de Budau permet de croire à Texistence de quatre racines; mais, la suite i,o. 2^ I, o, ?. ne présentant aucune variation, on en conclut que l'équation n'a aucune riicine supérieure ù l'unité.

Pour rechercher les racines inférieures à l'unité, je considère la

transformée en - »

9J?* — i5a:'H-iaJ?' — 5x-h i =o,

qui donne le Tableau suivant :