V(ABC...) = TA.TB.VC

Dans le calcul des systèmes linéaires, on a très souvent besoin de calculer le réciproque ou le déterminant d'une fonction de systèmes linéaires donnés ; il est très important, quand on le peut, d'effectuer le calcul, sans être obligé de recourir aux éléments des systèmes. Je donnerai dans la suite plusieurs exemples des procédés que l'on peut employer, procédés que du reste l'examen

(les queslions particulières à résoudre fournit presque toujours facUement. Au sujet des équations linéaires, je ferai observer qu une équation est nécessairement homogène en ordre, c'est-à-dire

que lous les systèmes qui y entrent doivent être du même ordre.

Ainsi, dans l'équation

A -f- XB = o,

il est clair que X représente un système simple d'ordre /i, si A et B sont d'ordre n. On voit par là que la notation adoptée pour les systèmes simples ne peut jamais donner lieu à aucune ambiguïté. Ainsi, en supposant que le déterminant de A + BX soit ç(X), on

aura l'équation

V(A-+-BX)=ç(X),

et il est évident, sans qu'il y ait ambiguïté, que dans le premier

membre, si A et B sont du troisième ordre, X représente le système

simple

tandis que dans le second il désigne simplement le nombre X.

Avant de terminer ce qui est relatif aux notations et aux définitions, je ferai encore les remarques suivantes. * Le système

OÙ tous les éléments sont nuls, excepté le premier, sera toujours, dans ce qui suit, représenté par Q.

Un système du /i**"** ordre

où toutes les lignes, excepté la première, ne renferment que des

2 28 ALGKBRE.

éléments nuls, sera désiji^né par la notation

( J^j J^j ... JTn )

et par conséquent la notation

( J*l Xi ... T,f )

désignera le système

Tn O (>

En sorte que si, par exemple, on a

f = ax^ -h ibxy -h rj'*, cette relation, qui est équivalente à

/"o a^v rt6 X o oo oo b c y ^ pourra s'écrire

a b 4 en posant . = A ,

ou encore

en posant (x, j") = X.

Soit A un système linéaire d'ordre /i ; je ne considérerai dans ce qui suit que des systèmes pouvant s'exprimer au moyen seulement de A et de systèmes simples. (Ceux-ci, en effet, se comportent comme de véritables nombres, en donnant ici le nom de nombre, indépendamment de toute idée arithmétique, aux quantités ordinaires, et réservant la dénomination de quantités aux systèmes linéaires proprement dits.) Je désignerai en général une telle fonction numérique de A parla notation/(A); une fonction entière de A sera de la forme

a-h ?A -f- yA^-^.. .-4-XA'",

^? ?» T» ••• 7 2 désignant des sj-stèmes simples. Cela posé, si A désigne un système d'ordre /i, et si l'on a

je dis que l'on aura identiquement

Ainsi, soit

on aura

=:(ad

= (ad — bc) — l{a -^ d ) -h y^ ;

on devra donc avoir

A* — (a -h d)X-h ad — ^c — o,

et, en eflet, on a identiquement

a^ -^ bc b (a -^ d) , , a b ad — br o

c(a^-cf) a*-4-6c c d o ad—bc

En général, si âf désigne le déterminant d'un système A d'ordre ;?, on aura

A(A — X) = flf — /wX -H/>X'-+-...-4-( — i)"X";

A satisfera donc à l'équation

(i) A'» — sA"-». . .ii: //lA qi e/ = o.

On remarquera, ce qui est utile dans les applications au point de vue arithmétique, que dans cette équation le coefficient de A" est toujours l'unité. Multiplions l'équation (i) par A© (à gauche ou à droite indifféremment), il viendra, en remarquant que AAo = rf,

dXn-\ ,c^\/i-2 . zpmrf=bû?Ao = o, d'où

(2) Aq— ni—pk. .. ihsA^-^qp A'»-».

Quoique la démonstration de cette formule suppose d différent de zéro, il est clair qu'elle subsiste même quand d est nul.

a3o ALOKBRE.

Des équations (i) et (2), il résulte que toute fonction numérique entière de A (et aussi de A et de Aq) peut se réduire à un polynôme où A ne dépasse pas le degré (/i — i). Soit /"(A) une telle fonction; proposons-nous de calculer son déterminant.

Désignons par a, p, y, . . . , r^ les racines de V équation numérique ordinaire /Çk) = o, en sorte que l'on ait identiquement

/(X) = a(X-a)(X-P)...(X-TO.

Il est facile de voir que l'on aura identiquement

en effet, la différence entre les deux membres de cette équation sera un polynôme en A de degré (n — i) au plus. Or, en général, Téquation (i) est irréductible, c'est-à-dire que A ne peut satisfaire à aucune équation linéaire de degré moindre; donc la différence précitée est nulle ; et cette conclusion subsiste évidemment môme dans le cas où A satisferait à une équation d'un degré inférieur à n. Prenons maintenant l'équation aux déterminants de l'équation (3), il viendra

V/(A) = a«v(A - a).v(« — ? . . . v( A — rj = a«ç(a)!p(P) . . . o(rJ.

Le déterminant de /(A) ne dillere donc pas de la résultante des équations ï) (a:) = o et /(x) = o; en appelant p cette résultante,

nous aurons donc

Cherchons maintenant le réciproque de /(A); on a, d'après ce qui précède,

[/(A)]o./(A) = p, d'où [/(A)]o =