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pour obtenir le réciproque de /(A), il suffira donc de diviser p par y*(A), la division, en tenant compte de la relation identique o(A) = o, devra se faire exactement, et le quotient donnera la valeur du réciproque cherché. En particulier, cherchons (A — p), on aura

SUR LK CALCUL DES SYSTKME8 LINEAIRES. 33 1

OU bien, comme ^(A) est nulle,

quantité évidemment entière. Je remarquerai ici que celte dernière formule subsiste encore quand p est une racine de Téquation

Je cite ce cas particulier, parce qu'il est d'une application fréquente dans la théorie des formes binaires.

On a en effet ce principe bien simple, mais d'une grande importance: si le déterminant d'un système B est nul, Bq estdécomposable en deux facteurs, l'un de la forme (a, 6, c, . . ., z??), et l'autre de la forme (a, ^,7, . . . , [a). Par exemple, si

on a

Bo=r

Il suit de là que, A étant un système linéaire ([uciconque cl \ une

racine de l'équation

(A — X)o sera décomposable de la façon indiquée. On pourra donc toujours trouver en général n fonctions entières de A,

telles, que l'on ait identiquement

m -+-/>A -+-^ A* -h. . .-H jA'»-» = c o o... xa p y...

ai a^ a^(...

COL r Ji ry . . .

Je dis en général, car il peut se faire que le système A satisfasse à une équation '{'(A) = o d'un degré inférieur à n, el qu'en venu de celle équation le polynôme (A — À)j soil identiquement nul, auquel cas la décomposition correspondant k la racine X n'offre plus de sens.

Au sujet de ce mode de décomposition, je ferai encore la remarque suivante, dont l'application se présente très souvent. Si A désigne un système linéaire quelconque et oc, ^ deux racines de l'équation

T(A-À) = <., on aura idenliqucment

Pour plus de simplicité, supposons que A soit du troisième ordre et soient a, ^, y les trois racines de l'équation

On aura, d'après ce qui précède,

d'où

(A-9)o(A-3)„=.|(A-a)tA-?)(A-Y)]{A-Y).

Or la quantité entre crochels est identiquement nulle. Celte démonstration est évidemment générale. Soient maintenant X,- cl iy deux racines quelconques de l'équation V( A — À) ^ o, el supposons que l'on ait

( A — lii^ = («/, bi, c;,. . .) (a/, pi, -'.i... ■ h ;

de la relation

(A-X,-)o.{A-).y)o = o on déduira

Cette relation, ainsi que d'autres que l'on peut trouver facileheot entre les éléments (a, ft, c, ...) el (x, |J, v, ,..), trouvera de *f> ap[ilic<ilii>iis dans la théorie des formes.

SUR LE CALCUL DES SYSTÈMES LINÉAIRES. j33

J'ai montré qu'un système linéaire quelconque A satisfait toujours à une équation d\in degré égal à celui de son ordre; mais il peut se faire qu'il satisfasse à une équation d'un degré moindre ; clans tous les cas, il y aura une équation irréductible d'un certain degré, m par exemple^ auquel il satisfera. Par conséquent, toute fonction entière de A pourra se mettre sous la forme d'un polynôme en A du degré (m — i) au plus, et cela d'une seule manière.

Il en sera de même, en général, de toute fonction rationnelle de A, c'est-à-dire de toute fonction satisfaisant à une équation de

la forme

car de là on tire

expression qui, si X est déterminée, sera aussi un polynôme entier en A. Cette forme, sous laquelle on peut réduire toute fonction rationnelle d'un système, sera dite la forme canonique de cette fonction.

En terminant les considérations les plus générales relatives aux systèmes linéaires, je ferai la remarque importante qui suit : Un produit de facteurs linéaires peut être nul sans qu'aucun des facteurs le soit. Mais si l'on a, par exemple,

AB = o,

et qu'aucun des facteurs A et B ne soit nul, on devra avoir

V(A) = o Cl V(B) = o,

car, pour fixer les idées, si V( A) n'était pas nul, en multipliant à gauche l'équation donnée par Aq, on en déduirait

et, par conséquent, B == o. De là suit encore que, si Ton a AB = o, et si V( A) est difl^rent de zéro, on doit avoir B = o.

a3'| ALQKBltE.

ÏII,

J'appelle fonclion de deux systèmes linéaires tout système qui peut s'exprimer au moyen de deux systèmes donnés de même ordre et de systèmes simples. Ces deux systèmes étant A el B, je désignerai une telle fonction par la notation y*( A, B). Pour Tinstant et pour ne pas entrer dans de trop longs développements, je me bornerai à considérer des systèmes du deuxième ordre. Soient donc A et B deux tels systèmes, a et b leurs déterminants. A et B satisferont aux deux équations suivantes :

d'où Ton déduit

Obis) jA-^Ao = a,

I B-+-Bo = p.

Dans le cas où les systèmes A et B sont du deuxième ordre, on a toujours

(A-»-B)o= Ao-4-Bu; posant donc

V(A-HB) = a-h«>-h6, on aura

(Ao-+-Bo)(A-f-B) = rt-hivH-6

ou, en développant,

Ao A -h Ao B -h Bo A -4- Bo B = a -+- tr -H 6 ;

d'où

AoB-f- BoA = w.

Remplaçons dans cette équation Aq et B© par leurs valeurs tirées

de 1 (6/5), il viendra

AB-*- BA = aB -+- pA-+- w, d'où enfin

(V) HA=- AB -f-aB-+-?A-+-(r.

Au moyen des (h| nations (i), (•*.) et (3) toute fonction entière de

A et de B pourra se mettre sous la forme

m -hpX -+- 7 B -h rAB ,

et même (ce qui est utile dans beaucoup d'applications), si les coeHicients dans la fonction donnée sont entiers, m, />, 7, r seront aussi entiers. Quand une fonction de deux variables  et B sera ainsi réduite à la forme ci-dessus, je dirai qu'elle est réduite à sa forme canonique. En général (sauf quelques cas très particuliers), une fonction donnée ne pourra se mettre que d'une seule manière sous la forme canonique. Une fois mise sous cette forme, il sera très facile de calculer son déterminant. Pour cela, il suffit

de poser