X -T-yX -h zB -¥- wAB
où A. et B désignent deux systèmes quelconques du deuxième ordre assujettis aux relations (1), (2) et (3), on remarquera l'analogie qui existe entre ces deux théories. Le calcul des systèmes linéaires donne ainsi une interprétation simple et pour ainsi dire arithmétique des imaginaires ordinaires, des quaternions, des clefs algébriques de Cauchy, des imaginaires congruentielles de Galois. Si la substitution des systèmes linéaires à la place des symboles ne me paraît pas devoir être avantageuse pour le calcul, cependant la notion des systèmes linéaires me parait bien plus précise, et, par cette précision même, elle permet de développer et d\ipprofondir bien des points que le calcul purement symbolique ne saurait atteindre. L'exemple suivant fera peut-être mieux saisir ma pensée, en montrant quels points de contact et quelles diflc-
a35 ALGÈBIIK.
rences il exisle entre le calcul des sj'slèmes linéaires et le cal<? «-*^ des symboles.
Soit un nombre premier/?; imaginons tous les systèmes d'ordre /i, dans lesquels les éléments sont les nombres entiers inférieure k p ou zéro. Ces systèmes, en mettant zéro de côté, seront évidemment au nombre de /?"'""* ; nous les appellerons les résidas de p d'ordre n. Représentons par y(X) une fonction numérique entière d'une variable X d'ordre n, et cherchons les solutions entières de la congruence /(X) ^ o (mod./>). Les diverses solutions devront évidemment se trouver parmi les/?"'""* résidus de p. Cela posé, pour résoudre complètement la question, les trois problèmes suivants seront à résoudre :
i" En séparant les racines qui sont des systèmes simples, distribuer les autres racines en groupes tels que, dans chaque groupe deux racines soient permutables (suivant le module/?) ;
2° Dans chaque groupe étudier les relations qui lient entre elles les racines de ce groupe ;
3° Etudier les rapports des différents groupes entre eux.
La théorie de Galois répond précisément au second de ces problèmes, mais laisse complètement intact le troisième.
Ce qui précède suflil pour donner une idée de ce que serait une étude complète des fonctions de deux systèmes linéaires d'un ordre quelconque.
On voit de suite qu'une pareille fonction doit pouvoir s'exprimer au moyen d'un nombre limite d'expressions telles que A'B/A*B*.... Car si nous supposons
il est évident que dans ce développement, n étant de l'ordre des systèmes, on pourra faire en sorte que A et B n'y entrent qu'avec des exposants inférieurs à n; en outre, si l'on considère un groupement quelconque
il ne pourra pas se trouver répété plus de {n — i) fois de suite.
Sans qu'il soit nécessaire d'entrer dans plus de détails, il est clair (|u\ine fonction entière /(A, B) pourra toujours se mettre sous une forme ne contenant qu\iu nombre limité de termes. Si
SUR LK CALCUL DKS SYSTÈMES LINÉAIRKS. I^'J
^lle ne peut être mise sous celle forme que d'une seule manirre, nous dirons quey( A, B) est réduite à sa forme canonique; et si une fonction de  et de B, mise sous sa forme canonique, est nulle, tous les coefficients des divers systèmes linéaires qui y entreront seront nuls. Il est clair que cette notion de forme canonique peut s^ëtendre aux fonctions de trois ou d'un plus grand nombre de systèmes linéaires. Deux problèmes généraux se présentent alors :
1® Étant donnée la fonction la plus générale d\in nombre quelconque de systèmes, la réduire à sa forme canonique ;
2® Étant donnée la fonction la plus générale d'un nombre quelconque de systèmes linéaires, trouver son déterminant et le système réciproque.
La solution de ces problèmes, dont le second dépend nécessairement du premier, est d'un très grand intérêt dans le calcul des systèmes linéaires ; j'espère en montrer plus tard d'intéressantes applications dans la théorie des formes binaires.
Je termine ici ces considérations préliminaires, que l'on trouvera peut-être un peu longues, mais qui étaient nécessaires pour me permettre d'exposer, d'une façon suffisamment claire, les diverses applications que j'ai faites du calcul des systèmes linéaires. J'exposerai d'abord sous quel point de vue je considère la théorie des formes quadratiques. Soit /(^i X2 ,. . Xn) une forme quadratique à n variables; posons
- -y^— = aj a^i -h C^i Tj -4- ... -h A'i Xfi ,
2 axi
- j — = a^Xi -H O^Xi -H ... -4- A'î J"/| ,
2 axi
- -j — = «n^l -+- OnX% -h ... -^ KnXn\ 2 aXn
le système linéaire d'ordre n
Cl\ U\ ... A*!
flj Oj . . . A*J ,
ji)8 ALOÉBRK.
qui est évidemment symétrique, sera dit représenter la forme /{^i, X'ii • • •<. J^/i). En sorte que toute forme quadratique à n variables sera représentée par un système symétrique d'ordre n\ réciproquement, ce système déterminera complètement la forme. Soit A le système représentatif de la forme /(^i , X2, . . . , Xn) et
Xn O O O. . .
on aura évidemment
(a) U/(r,r,...) = X,AX.
Je représenterai très souvent la forme /(j:,, x^, . • . , Xn) par la notation /(X); cette notation, qui ne peut donner lieu à aucune ambiguïté, permet d'écrire avec simplicité des formules qui autrement seraient très compliquées. Soit, par exemple, une forme binaire/(x,^); en posant
je désignerai simplement /(j:,j^) par y(X); supposons que les variables x ei y prennent les valeurs suivantes :
en posant
= 11, ci = S.
la forme /(ao: 4- ?^y 4- ;, y^r -\- oy -\- y,) sera simplement représentée par /(H, X -+- S).
De l'équation (a) résulte immédiatement la proposition suivante qui, du reste, a été donnée explicitement parEisenstein (•) : si une forme/(^i, ^2>'-')' représentée par le système A, se change par une substitution H en la forme ^(^i, ^2? • • •) repré-
(*) A^eue Théorème von hohern Arithmetik,
SUR LK CALCUL DES SYSTÈMES LIXÉAIIIES. u3(j
senlëe par le système B, on a Téquation (i) H,AH = B.
Cette équation et la remarque suivante, à savoir que, si une forme est représentée par un sj^stème A, son adjointe est représentée par le système réciproque Aq, sont les bases de toute la théorie des formes quadratiques. Je n^en déduirai pas toutes les conséquences, je n'aurai qu'à refaire une théorie bien connue; je me contenterai d'en montrer l'application à quelques questions particulières. J'examinerai d'abord la question de la composition des formes en revenant sur un problème déjà résolu par Gauss.
Soient deux formes binaires g et A, proposons-nous de trouver une forme binaire/ composée des deux premières. Soient A, B, C les systèmes linéaires représentatifs des formes y, g^ g' et soient a, p, Y leurs déterminants. 11 est clair, d'après la notion même d'une forme composée, que la forme/ doit être telle, qu'en désignant par R un système linéaire du premier degré en x et j^, on ait identiquement
d'où l'on déduit, en désignant par r le déterminant de R,
de là on déduit encore
^I A = R|oCRo.
Posons
Ro = H -t- K ,
H et K désignant des systèmes linéaires indéterminés; on devra avoir, en écrivant A =
a a fx y oo\/j^o o x
g^b ÇY£ \o o ^ r / \ r " ^ y
i|0 AI.OKBIIF.
ce qui, en effectuant le développement, fournit les quatre équations suivantes :
—J — o X Y jr o o " ' X y o x
« = xIIiGHx , * = xHiCKx
oooo y o (»ooo ^ y
OOOO X o OO DO O T
^..(, = xKiCHx , .rvc = xKiGKx
^ * ■ o X y y o O ^^-i-1 or y o y
En se reportant à la formule (a), il est facile de voir que les (|uatre équations ci-dessus peuvent être remplacées par les trois suivantes :
(?) I^B = H,CH, 1^B = K,CK, ^ B = K|CH-hn,CK
