CL

Des deux premières on déduit

l BHo = II,Ci/|,

|BKo=K.Gy/^

Or, je dis qu'il suffit de trouver des systèmes H et K satisfaisant aux équations (a); en effet, ces systèmes trouvés, si l'on porte dans les équations (^) les valeurs de H^C et de K|C tirées des équations (a), on trouvera, en écrivant V. H = A, V.K = ky

(Y) fi = /ia/7?, c = Aav^, ^6 = -^ (HoK -*- KoH ).

(]omme les systèmes H et K sont du deuxième ordre, la quantité

(HoKh-KoU)

se réduit à un simple nombre; les formules (y) donneront donc les coefficients cherchés de la forme /(x,r).

On voit que toute la question est ramenée à trouver des systèmes H et K satisfaisant aux équations (a). Voici la méthode que Ton peut employer à cet égard. Soit, en général, à résoudre IVquation

(0^ BHo = |/§.H,C:

SUR LE CALCUL DES SYSTKME8 LINÉAIRES. a4l

posons

Hr^CoPi-XPoB,

où P désigne un système linëaire arbitraire et X une constante indéterminée. On aura

Ho= Pio — XBoP, H, = PCo-XBP,o; par suite,

BHo = BPioGvpP, H,C = yP — ^BP,oC;

éliminons BPiqC, il viendra

XBHo-»-n,C = (Y — Xïp)P.

Si donc on choisit la constante X, de telle sorte que X = 4/|,

on aura

BH

la valeur donnée de H suffira à Inéquation (o), quel que soit le système arbitraire P. La question proposée est complètement résolue; il y aurait quelques remarques à ajouter et quelques restrictions à faire si Ton voulait que les nombres a, 6, c fussent entiers. Je laisserai de côté cette recherche, d'ailleurs facile; mon seul but a été de montrer de quelle manière simple et naturelle remploi des systèmes linéaires fournissait, et dans ses moindres détails, la belle solution donnée par Gauss dans ses Disquisiliones (§ CCXXXVI).

J'en viens maintenant à une question plus importante, celle de la transformation des formes d'un nombre quelconque de variables.

Dans tout ce qui suit, j'appellerai toujours déterminant d^une J'arme le déterminant du système linéaire qui la représente. C'est, au signe près, la définition de Gauss. Ceci posé, soient /et g deux formes transformables l'une dans l'autre par une substitution H, et soient A et B les deux systèmes qui les représentent respectivement. On aura l'équation

(i) n,AH = B;

et, en appelant a, 6, r^ les déterminants des systèmes A, R, H,

a42 ALOKBItK.

'ti sera connu au signe près parla rclalion «7,2 = b. Je supposerai du reste a et h ditTérents de zéro. Posons

(i) H,A~AH = V,

on en déduira, A étant symétrique,