H,AH = A
Je remarquerai d'abord que Téquation en \
a toutes ses racines réciproques. On a, en effet, évidemment la série d'identités suivante :
T(H, — X)V(AH) = V(HiAH— XAII) = V(A-XAH) = VA.V(i — XH).
Or,
la relation précédente pourra donc s'écrire ainsi :
V(H-X)V(AH) = V(A)V(i — XH),
et il en résulte que, si l'équation V(H — X) = o est satisfaite pour Az=p, elle sera aussi satisfaite pour X = -; c'est ce qu'il fallait
démontrer. Par suite, on voit que l'équation p(H) = o, à laquelle satisfait H, ne contiendra que coefficients indéterminés si n
est impair et - si n est pair. Dans tous les cas, appelons z^^ z^j . . ., 5v ces coefficients. En posant comme ci-dessus
H,A — An=V,, on en déduira
(5) IPr-i-în,
relation où, pour abréger, j'ai posé T == AoV. Elle fait voir que H est une fonction entière de T, et par conséquent de la forme
a-HpT-hYT«-i-....
Les coefficients a, p, y, . . . peuvent se calculer a priori. En effet,
dans le polynôme
an- {JT-h YTi-4-...,
'j4'i alokuuk.
séparons les termes de degré pair et les termes de degré impair;
])Osons
n=/(T»)-hT6(T*).
Des relations évidentes
T, A = - VAo A = - Va = - A. AoV = - AT, TJ A == AT» . . . , T J = — AT» . . . ,
on déduit sans peine que Ton aura
/(Tî)A=:A/T*, ^(Tî)T,A = -AT4.(T«).
On aura donc
HiA = A[/(T»)-T4;(T*}] et n,AH = A[/*(T») — T»4/î(T«)].
La condition nécessaire et suffisante pour que H transforme en elle-même la forme proposée sera obtenue en exprimant que /2(T^) — T2'i2(T^) se réduit à i en tenant compte de l'équation 'yj^(T) = o, à laquelle satisfait le système T, et H sera exprimé de cette façon en fonction de V et des coefficients z^ ,
La formule ainsi obtenue donnerait toujours des solutions, mais elle serait trop générale en ce sens qu'elle donnerait plusieurs fois la même solution. Il faut encore exprimer que Ton a
IIiA — AH =V;
or, des formules données ci-dessus, il résulte
V=ntA-AII= A[/(T2)-T4.(T«)-/(Tî)-T^.(T«)];
d'où Ton déduit
V = -2AT6(T2) Cl Til(T«)=r— — =z — -L.
La forme sous laquelle H peut se mettre est donc celle-ci (sauf le cas où Ton a H- = i, et par conséquent V= o, auquel cas il faut modifier un peu la méthode précédente)
SUR LE CALCUL DES SYSTEMES LINÉAIRES. 'i/^5
/"(T^) désignant une fonction paire de T satisfaisant à l'équation
Je vais déduire, de cette formule une propriété commune à toutes les formes d'un nombre impair de variables, et que M. Hermite a signalée pour le cas de trois variables. Dans ce cas, CD le sait, le déterminant de V est nul, et par conséquent celui de T l'est également. To pourra se mettre sous la forme
et Ton aura
T.(W|, «2,. .., Un) = O.
Or, la valeur de il est
H ==b I haTî-f-vT*
le premier terme étant ±: i, car pour V=o la formule doit se réduire à H == zfc i .
Multiplions à droite les deux membres do cette équation par (mi, «25- • M w„), il viendra, en remarquant que
T.(M|, Ui Un) = O,
H. ({/], {/s, . . ., a„) = rb ( Ml, Ms, . . ., a^ ).
Il siiil de là que la fonction du premier degré
Xi M| -h J-j Mj -»- . . .-h Tft Un
se reproduit, ou du moins ne fait que changer de signe quand on la transforme par la substitution il.
Je vais maintenant reprendre la solution donnée et l'appliquer avec plus de détails aux formes quadratiques à trois variables.
Soit une forme /{x, y, z)^ représentée par le système A; on voit facilement que si Ton pose
\ = — z o ir,
y — Jr o
on aura
(a>) V(A-hXV) = ^+X*A
246 ALOKDRE.
en représenlanl par d le déterminant de la formey, et écrivant, pour abréger, /au lieu Ae f{x,y^ z). On aura donc
V( AoV- X) = — X» —Xdf,
et le système AoV=: T satisfera à Téquation
On peut supposer le déterminant de la substitution II égal à i, sans nuire à la généralité de la solution; car, de cette façon, on obtiendra toutes les transformations propres , et les transformations impropres s'en déduiront en prenant les premières en signe contraire. Ce système H satisfera ainsi à une équation de la forme
(7) H3 tvH»-+-tvH — I = 0.
Posons maintenant
H,A — AH=V=— z o X.
La relation qui doit exister entre les inconnues auxiliaires iv\ x^y, z s'obtiendra facilement en remarquant que l'on a identiquement
(H, — X)A(II-f-X) = HiAIlH-A(H,A- AH) — XîA = (i — X«)A-hXV,
d'où l'on tire , en prenant l'équation aux déterminants et en ajant égard à l'équation (w) et à l'équation (7), qui donne V(H — X) = I — X(v -I- X2,p \z^
f/v(n, — X)V(h-hX) = rf[(i-HM^x«)»-x»(iv-i-x»)]
= c?(i— Xî)3-i-X«(i — Xî)/.
En développant les deux membres de cette égalité, on trouvera qu'elle est satisfaite si l'on prend/ de telle sorte que l'on ait /= rf(3 -f- 2(P — iv*"^), ou, en posant (p -4- i = w,
(8) f{x,y,z) = du{^-u).
Maintenant de Tcquation H| A — AH = V on déduit
VH ^ A, AU - AH» = A(i - IP),
SUR LE CALCUL DES SYSTKMKS LINÉAIHKS. a^T
d'où
AgVH = c/(i-H») et AoV=T = t/(IIo-H),
ou enfin
(?) Ho-II=î.
Nous déduirons la valeur de H des éqiialions (7) et (P). De Téquaiion (j) on déduit
H« — wH-Mv — IIo = o, H — ivH- wllo- Ul =0;
et de Téquation (^)
En éliminant H*, HJ et H© entre les équations précédentes, on trouvera
relation où comme ci-dessus on a posé, pour abréger, // = iv -h 1 . Telle est la forme sous laquelle se présente la solution générale du problème; il faut j joindre la relation
(8) /(^i V, z) = duH—u).
On pourra du reste s'assurer a posteriori qu'en tenant compte de l'équation T' + afT = o et de la relation (8), la formule (A) satisfait toujours au problème.
Cette formule donnera donc toutes les solutions et uc les donnera chacune qu'une seule fois, car de la relation (P) il résulte qu'à une valeur donnée de H ne correspond qu'une seule valeur de T. Certaines solutions cependant ne sont pas données par la formule (A); ce sont celles qui satisfont à l'équation IP = 1 . Dans ce cas, la méthode précédente n'est plus applicable; mais, en la modifiant un peu, on trouve que ces solutions seront données par la formule
avec la condition
(H bis) /{^r.y.s)^ \fi.
La forme sons laquelle les formules (A) et (A') se présentent peut être diversement modifiée, et notamment quand on recherche seulement les solutions entières.
Considérons maintenant deux solutions du problème, que je supposerai, par exemple, de la première espèce, c'est-à-dire fournies par la formule (A). Les autres cas se traiteraient d'une manière analogue.
Ces deux solutions, que j'appellerai H et K, seront caractérisées respectivement par deux nombres u et iv et deux systèmes
et
Aq .
que j'appellerai T et S ; et ils en dépendront, ainsi que l'indiquent les formules suivantes :
/ ,. T TJ ., S S«
\ 'id id^u id 7.d^w
Le produit HK devant être aussi une solution du problème, R désignant un système de la forme AqV, mais relatif à d'autres variables (a, p, y), on aura
id id^tù
Cette solution est caractérisée par le système II et le nombre to: voici comment on pourra les déterminer. Remarquons qu'en vertu de l'équation (P) on a
~ = KoHo-IIK,
ou bien, d'après les formules (o).
d ~~ \ id id^w] \ id id^a)
\ id id^u) \ id id^wj' Pour réduire cette expression, je ferai observer qu'entre les
systèmes S et T existent les relations suivantes, oii j'ai posé, pour abréger,
f=f(x,y,z), <p=mr„!:) et A = 1 $ ^/ + i r. ^ -^ i Ç g,
et où d représente le déterminant de A :
TST = — rfAT, STS = — c/AS,
ST» = - T«S — rf/S — dfiT, S « T = — T S « — c^y T — t//i S , S»H-c/'fS = o,
TS,T = rf*(/cp - A») -+. d/S^ - dh(TS 4- ST), ST»S = rf«(/<? — A») -H «^?T« - û?A(TS -+. ST).
Au moyen de ce tableau, on peut réduire toute fonction de T et de S à la forme
a H- pT H- yS -f- a'T« -f- p'S* -4- y'ST 4- o'TS -f- a-TS» -h p'T^S.
R En appliquant ce mode de réduction à la valeur de -j trouvée cidessus, on trouvera
Telle est la formule qu'il s'agissait d'établir; on trouverait d'une façon analogue la valeur de co, et les relations
conduîraienty sur la composition de certaines formes, aux théorèmes donnés par M. Hermite dans son Mémoire sur les formes quadratiques (*). Il est facile de voir qu'en général deux solutions ne seront pas permutables entre elles, c'est-à-dire que l'on n'aura pas HK = KH. En effet, si cette égalité avait lieu, il suit de la formule (g) que l'on aurait
TS — ST = o:
(•) Journal de Creiie, t. V, p. 47-
or, il est Tacile de voir que
TS-ST = rfx r,» ,,.v ,,= -^{ ^, ^; xA.
( i' ly l' s! ^1 =; )
Le délerminanl de A n'étant pas nu!, il faudrait donc que la quantité entre parenthèses fût nulle, ce qui exigerait que l'on eût
Tout ce qui précède est en grande partie déjà coonu. La méthode que j'ai exposée ci-dessus me paraît cepecdant pouvoir cooduire encore à des résultats nouveaux et intéressants; mais son application exigerait des études plus approfondies sur les relations qui lient entre eux les systèmes linéaires. Du reste, la théorie des formes quadratiques ne reposant que sur un nombre très restreint de notions algébriques, les applications du calcul des systèmes linéaires y sont nécessairement très bornées. Au contraire, dans la théorie des formes binaires ou des formes d'un plus grand nombre de variables, où les notions algébriques fondamentales sont plus nombreuses, ces applications se présentent bien plus fécondes et bien plus variées.
En terminant ce que je voulais dire des formes quadratiques, je ferai observer qu'en adoptant la terminologie du calcul des systèmes linéaires, le principe d'inertie de M. Sylvesier peut s'exprimer ainsi : Si deux formes /" et ^ représentées par les systèmes A et B sont équivalentes, la substitution étant réelle, les équations
T(A — X) = o ft T(B— i) = o
auront le même nombre de racines positives et le même nombre de racines négatives.
Ce que l'on peut énoncer autrement et indépendamment de la notion de forme de la façon suivante :
6 étant un système symétrique, je dirai que li est un système défini positif, si toutes les racines de l'équation
Mors, A étant un système symétrique quelconque et B un système sj-métrique rfé/î/ii positif quelconque (A et B, du reste, étant réels), les équations
V(A — X) = o et V(A — XB) = o
auront le même nombre de racines positives et le même nombre de racines négatives.
L'application du calcul des systèmes linéaires aux fonctions abéliennes se présente ici d'elle-même comme conséquence de Ja théorie des formes quadratiques. Mais d'abord il est nécessaire d'expliquer ce que l'on doit entendre en général par l'expression Ae fonction d'une variable linéaire. Considérons seulernenty pour plus de clarté, un système du deuxième ordre, et soit
une variable linéaire. Le système linéaire
variant en même temps que X, pourra être regardé comme une fonction de celte variable, et le mode de relation qui existe entre ces deux systèmes pourra être indiqué par la formule
En particulier, si nous définissons e^^ X étant un système d'ordre quelconque, comme étant la somme de la série
é^ sera une fonction de la variable X; mais il est à remarquer qu'en général on n'aura pas
Il est cependant un cas particulier où cette propriété subsiste,
c'est celui où les exposants X, Y, etc., sont de la forme llr,lly, etc.; dans ce cas, on a évidemment
Soit donc une équation
;/ = ( e« -f- e? -h cY. ..)( e« -*- e^ -f- «^ -*-...) ;
on pourra la remplacer par Téquation linéaire
lia = (eû« -H eû? -f-. . .) («^" H- «^*- . •)•
Cette remarque permet d'appliquer facilement le calcul des systèmes linéaires aux fonctions abéliennes, ou plutôt aux séries dont ces fonctions sont les quotients.
Considérons, par exemple, les séries dont s'est servi M. Hermile dans son Mémoire sur les fonctions abéliennes; elles sont définies par l'équation suivante :
On en déduit
(i)ilO,,,^;j,,v(:r,^')=2É^~'^ "^ '
Or, si l'on pose
et si la forme o est représentée par le système A, l'équation (i) pourra s'écrire de la façon suivante :
yi i7:r.SBI,4.R.|XH-Y<JM,-f-U,.A(îM-t-R)]-
On voit que la série se présente ainsi comme une fonction de la
variable linéaire X = ; c'est pourquoi je désignerai simple^
ment le premier membre de l'équation précédente par Û6(X), el je remplacerai les (jualre indices /;, (/; iji, v par les deux seuls indices linôaires 11, N, en écrivant UÔr ^(X).
En représenlanl ainsi loulos les variables par une seule variable
SUR LE CALCITL DES SYSTKMES LINÉAIRES. 353
linéaire, nous obtiendrons une notation plus simple, plus commode et analogue à celle qui a été employée pour les formes quadratiques. La sommation dans la formule (2) doit être étendue à toutes les valeurs entières positives ou négatives du système M, c'est-à-dire qu'il faut donner aux éléments m, n de ce système toutes les valeurs entières possibles.
J'en viens maintenant aux séries à un nombre quelconque de variables, dont ^ les quotients donnent en général les fonctions abéliennes.
Soient
X = ( a?! , J7j , . . . , Xn ) >
OÙ X|, X2y ...,.r„ sont n variables quelconques, la variable linéaire
Xn o o. . .
et J3l un système symétrique quelconque. Soient
où les mi, /712, • • •, /Tt/i sont des nombres entiers quelconques positifs ou négatifs;
N = (/II, wj,. .., n„),
où les n\ , /i2, . . . désignent le zéro ou le nombre 1 ;
où les Ti, r2, . . • désignent ou zéro ou le nombre 1 ; les différentes séries abéliennes de l'ordre n seront données par la formule
l'ir I7C iJM, R,)-+- X-H -p 2 < M, H-R,) :A(îM, -f- R,)
Comme R et N peuvent prendre chacun 2" valeurs, la formule ci-dessus fournira 2^" séries différentes, dont les ([uotienls donneront les fonctions abéliennes d'ordre n.
254 ALQKBRE.
De la forme du ddvcloppement, il suit immédiatement que.
Ton prend
ï* = {puPt^ •••»/>«)»
Il = (iTj, ITj, . . ., TT/t),
les p et les 7: désignant des nombres entiers quelconques^ aura
(a) Û^R,N(X-h^P-+-n) = &R,>'(X)(-i)P.^-^«.n^rtc(«P.X-HP,AP).
Il résulte de cette formule que les quotients de deux foncLi d peuvent être considérés comme des fonctions de la vari^ lu^Ie linéaire X, fonctions doublement périodiques, et les deux f^^ ^ri odes étant >3l et 1. Les fonctions définies par Téquation ((i>^ :v)e sont pas les plus générales que Ton puisse considérer; mais S es autres peuvent s'y ramener par un changement de variables, J^E^n général, les fonctions abéliennes seront des fonctions d'une riable linéaire
Xx o o. . .
à deux périodes CetJQ; par un changement de variables ou l--' ramènera à des fonctions de l'espèce définie par l'équation (w), système J% étant défini par la relation
Toutes les différentes séries de périodes C et jÇ pourront d'aiL leurs se déduire d'une seule en augmentant les variables de mu liples des moitiés des périodes. De la relation O) il suit, J3l éla symétrique, que C et JQ "^ sont pas arbitraires, mais sont lié entre elles par la relation
Ainsi, pour les fonctions abéliennes de second ordre, si l'c^ pose
es le
on aura, d'après la formule (a), la relation connue
Pour les fonctions abélJennes du premier ordre (c'est-à-dire pour les fonctions elliptiques) Téqualion (y) devient identique-, pour celles du troisième ordre elle fournira trois relations entre les périodes simultanées.
En général, la différence Ci$< — i$C<, qui doit être nulle, est
un sjrstème gauche ne contenant que -^ éléments indépen-
dants ; la relation (y) pour les fonctions d'ordre n fournira donc
relations entre les périodes simultanées. Une fonction
abélîenne ayant les périodes C et jÇ, et 3i étant le système symétrique défini par l'équation tt = ^2i^ je dirai que 2i est le para- "*^tre de cette fonction.
Je reviens maintenant aux formules (ti)) et (a); pour simplifier * ^<^i*il.ure, dans tout ce qui suit, je les débarrasserai du facteur coristant û; mais il faudra avoir soin de se rappeler que les équa- ^'^*^s ainsi modifiées ne- sont <jue symboliques, et que les équations soràt: (a)et((o).
Je définirai donc les a^" séries abéliennes d'ordre n par la foi-m oie
^^ j^omets, pour abréger, les indices R et N. Les fonctions â ^^osi définies jouissent de la propriété exprimée par l'équation ^^^v^i^te, où P et n désignent des entiers quelconques de la forme
^^tte équation, à un facteur constant près, déterminera com- P^^^ment la fonction 2r. Je considérerai le problème de la trans- ^^ïHation comme l'a fait M. Hermite dans son Mémoire sur les ^^Hctions abéliennes.
Soit w(X) une fonction définie par l'équation
^'^) Tïj(X) = 2r[(T -+- AU)X]e''^x.<«*.Ar+u.T,x^
T, Q, {], J désignant des systèmes enliers quelconques indéterminësy et soit le système 9 défini par la relation
(4) (T-+-5lU)B = Q-h3lJ.
Je vais chercher si Ton peut choisir les systèmes T, Q, U, J de telle sorte : i" que v soit symétrique; 2° que w(X) satisfasse à une équation de même forme que Téquation (2)
A* désignant un nombre entier positif.
A cet elfet, changeons dans Téquation (3) X en X -+- II, en réduisant le second membre à Taide de l'équation (2); on trouvera que pour satisfaire à la deuxième condition, on doit avoir
U,T = T,U, au({uel cas on a alors
(5) m(X-hn) = (— i)^.^n^R.Tn-hn.T.tnnT(X).
Changeons dans cette formule (3) X en X 4- wP, il viendra, en tenant compte de la relation
ou, en développant,
(m) iii(X-+-BP) = (— i)P«J«>-^«*i««Re'«'îP.V^x-*^Pi^P»o(X),
expi^ession dans laquelle j'ai posé, pour abréger,
Or, pour satisfaire aux conditions énoncées, il faut d'abord que Pou ait V --= — A . Considérons féquation
mulhpllons-la à i:;uicho par U,, il viendra, en observant que
et en preDant l'Inverse de cette équation,
»tUi(TH-:2lU) = Ji3-HQjU el
QtU - JiT =(BiU, - Jt)(T-f-2l) = V.
On devra donc avoir
Maintenant la valeur de S donne
G = »iU,(Th-51U)B-Ji51J;
d'où il suit évidemment, U|T et J% étant symétriques, que G Test aussi. D^une relation établie ci-dessus
(BiU,-J,)(T^aU)=-^, on déduit
et en retranchant cette valeur de — kv de la valeur de 5
Gh-AtÏi =JiQ
et en prenant Téquation inverse
G + Xiï = Q,J.
Si donc on veut que JB soit symétrique, il faudra prendre
(6) JiQ-QiJ = o, et alors on aura
La formule (e) deviendra
On voit, en combinant ce résultat avec la formule (y), que toutes les conditions énoncées ci-dessus seront remplies, si l'on choisit les systèmes T, Q, U, J de telle manière qu'ils satisfassent aux équations (4), (5) et (6).
Relativement aux valeurs de ^ et de A^ je remarquerai que Jeiirs valeurs peuvent être prises suivant le module 2. Or, ï» U
358 ALQÈBRE.
étant symétrique , on voit facilement qu^en désignant par s^ , ^2, ...,5/i les éléments de la diagonale principale de T| U, et posant
on aura
n,TiUn = Sin (mod. = 2).
De même, en désignant par o*!, o"], . . ., V/i les éléments de la diagonale principale du système symétrique J| Q et par S le système
on aura
P,J,QP~Pj2 (mod. = 2).
On en conclut aisément que les valeurs de A et de 3(1?^ qui doivent entrer dans la formule (v), seront données par les équations
( ^ = U,NH-T,R-hS,
Des considérations précédentes, il résulte qu'une série abélienne aux périodes 1 et 3i pourra être transformée en une série abéliennc aux périodes i et Î5, si3ielv sont liées par la relation
T, Q, U, J étant des systèmes entiers satisfaisant aux équations
/ U,T — T,U = o, JiQ-Q,J = «, J,T--Q,U = X, (2) < et, par conséquent, f T,J-U,Q = A-.
Je vais étudier de plus près ces relations. Il est d'abord nécessaire d'expliquer la notation dont je vais me servir dans ce qui
suit. Supposons un système linéaire ^ ^ où les éléments, au lieu * ' " CD
SUR LE CALCUL DES SYSTÈMES LINÉAIRES. a5g
d^élre de simples nombres, soient des systèmes d^ordre n; alors représentera un système d'ordre 2 /i. Soit, par exemple, le svslèmc
si Ton pof 3
c' iV
A B ce système d'ordre 4 pourra être représenté par la notation •
Comme dans ce qui suit nous aurons à considérer simultanément des systèmes d'ordre n et des systèmes d'ordre 2/1, je continuerai à représenter les premiers par des lettres majuscules ordinaires et les deuxièmes par des lettres majuscules surmontées d'un trait; ainsi j'écrirai, par exemple,
Du reste, une même équation devra toujours être homogène en ordre; ainsi, si l'on a
il est clair que, dans le premier membre de cette relation, X désignera un système simple d'ordre 2n, et dans le second membre un système simple d'ordre n. Les systèmes composés d'ordre in se multiplient et s'additionnent suivant les mêmes règles que les systèmes ordinaires; ainsi l'on aura
A B A' B'AA-f-BC AB'-hBD' C D ^ C D' ~ CA'-f- DC CB'-+- DD''
en ayant soin d'observer l'ordre dans lequel on doit prendre les facteurs. Seulement on n'aura pas
v(7v) -r v(\r)— BC);
a Go ALGÈBllK.
la formule à employer dans ce cas est, en désignant par a el c respectivement les déterminants de A et de C,
(a) v( A) = — n^i V(«C„D - cAoB).
Cette formule, à laquelle on peut donner diverses formes, est d'un grand usage dans les applications, et dans ce qui suit j*en ferai souvent implicitement usage.
Ceci posé, revenons aux équations de condition (2), et posons
S = ^ et J =
on verra facilement que les quatre formules (2) sont contenues dans la seule formule
(3) S'ils = A J.
Pour abréger le discours, j'appellerai abéliens les systèmes satisfaisant à l'équation (3). On trouvera facilement qu'ils jouissent
des propriétés suivantes : i® leur déterminant est A:"; a** si S est
un svstèmc ahélien, S| en est un également. En effet, multiplions
à droilc les deux membres de l'équation (3) parJSi, il viendra
SjJSJSt = )tJJS,, ol comme J = — 1,
S~,JSS^ =:^S7; d*oii, divisant à gauche par S|,
JSJS;---A.
et, multipliant à gauche par J,
SJS;= AJ.
(Pour les autres propriétés des systèmes abéliens, je supprime le* démonstrations, qui sont entièrement analogues à celles que je viens de donuer^.
vV* Le pnnluit do dou\ s>slèmos abéliens est un svstème abélien:
SUR LE CALCUL DES SYSTKMES LINEAIRES. a6i
4** Soit M un système abélicn symétrique; il pourra être censé représenter une forme quadratique à 2 /i variables. Les formes qui peuvent ainsi être représentées par des systèmes abéliens seront dites formes abé tiennes.
Si une forme abélienne est transformée par une substitution abéllenne, la forme résultante sera aussi une forme abélienne. Une forme abélienne satisfaisant à Téquation
(m) MJM — mJ,
on en déduit
et
\ï;==__;,i/.-iJMJ;
donc la forme adjointe à une forme abélienne se déduit de cette même forme par un simple changement de variables. De Téquation (m) on déduit encore
(Si — X) JiVÎ = /nJ -XJM =J(m — XM).
Donc si X est une racine de l'équation
y est aussi une racine de cette même équation.
Cette notion de formes abéliennes, que M. Ilermîte a, le premier, introduites dans la Science et dont il a donné les principales propriétés, me paraît être d'une importance capitale dans la théorie des fonctions abéliennes; elles y jouent le même rôle que les formes binaires dans la théorie des fonctions elliptiques.
En considérant les formes abéliennes comme n'étant assujetties
qu'à des substitutions abéliennes, on peut isoler, pour ainsi dire,
'es formes et les systèmes abéliens des formes et des systèmes
généraux d'ordre a/i. L'analogie qu'ont les formes ainsi consi-
aérées avec les formes binaires quadratiques a été signalée par
^' Hermite, et ressort très facilement des propriétés énoncées
cî-dessus.
aÛJ ALQKimE.
Je vais mainlenanl étudier de plus près Téquation (i) (T-h3lU)ï = Q-h5lJ.
Soil une fonclion abélienne aux périodes C et jQi ay^nl pour paramètre 3i, en sorte que l'on ait
soit en outre une fonction abélienne aux périodes S el m et ayant pour paramètre H, en sorte que Ton ait
(3) i = fB;
on voit facilement que Téquation (i) pourra être remplacée par le système des deux équations
ou bien
US a €
(.0 = xS.
1» o ou
Distinguons maintenant, dans les systèmes J3l, îl, jR, etc., les parties réelles des parties imaginaires et posons
La ix'lation {^:}) deviendra alors
IVisons
- Il G
on «mm
— ^ 11,11 -^.Si.s H.G^,s,(f ^ ^>rL 5^.
Ki:n LK CALCUL DF.8 SYSTÈMES LINÉAIRES. 303
Or, si l'on pose
I Gjg-g,G = E, G,5-Ç,H = E, on déduit de la relation (2 bis)
E = 3(^1 aH© -h Fa .
Ces quatre équations donnent, en posant y^{^) = a,
aD = DXLXXo — 3(l>^\i>o, aC = DV^(\tX>QX -h aX) — D^-Xq^j aF = 5^,AJloo— 9Xo, aE = Sf(^i(XXoA -\- aX)— Ï^XqA,
formules que Ton peut mettre sous la forme suivante, en posant comme ci-dessus
o I - X Xok
J = et «lU =
— I o kXo AeHooA -H aJU
(comme A et X sont symétriques, il est évident que X l'est
aussi) ,
«.p g=AiAJJU;
Or, de ces équations (5) il résulte
F E=^*^^' il viendra donc
(G) aJÂ = ÂjX,
d'où l'on voit que On déduit de là
(7) rl,.a«'»-» = — JAoJA,
et comme X est symétrique,
(8) JAJA, = AJA,J.
Les conséquences des formules (6), (7), (8), qui établissent
2<i\ ALOF.br E.
ainsi des relations entre les parties réelles et imaginaires des modules C et jÇ et du paramètre 3i d'une fonction abélienne, conduisent à de nombreux résultats.
En distinguant dans la formule (4) les parties réelles et les parties imaginaires, on aura
ou bien
L^ir FH-i.f H -4-1*) G-+-0' 17 ^ = X S,
ou, en adoptant les notations précédentes,
(9) B = XS.
A cette relation on peut, en désignant par îiû le système analogue au système X^ mais relatif au paramètre J0, joindre les équations suivantes :
rtJX = ÂJ3Î, ^JB = BJîis Cl S^JS = X-Ï.
En éliminant entre ces équations et Téquation (9) les systèmes A, Bet J, on obtiendra
nouvelle forme sous laquelle peut se mettre la relation il) (T^-51U)Ô = Q-+-51J,
fM où n'entrent, comme dans celle dernière, que les paramètres .31 et î».
l/éi|uivrtlenoo de ces deux relations est d'une grande imporlance dans la lliêorio des formes abéliennes; car il est clair que Tanalyso prêoédenle subsiste indépendamment de la signification que nous aNons donnée aux divers sxstèmes qui y entrent, et il est facile do voir que le svslème X est précisément le système abéliou sxmèhiquo le plus général. Ce point important établit une analogie plus intime encore enlre les formes abéliennes et les
formes quadratiques binaires. La formule (lo) a une inlerprélation remarquable; d'après la valeur de cl>,
(il) «^1.= J
on voîl que ce système représente une forme abélienne; soit/ celte forme, et ç la forme abélienne représentée parîiS, la formule (fo) exprime que la forme ç se déduit de la forme/par une substitution abélienne.
Les formes abéliennes sont susceptibles d'une décomposition remarquable , que M. Hermite a signalée pour les formes du deuxième ordre. Soit
on aura
{lf{xuXt^ .. .,x^n) = X|a\.X;
or, de la formule (i i) on déduit sans peine
eAaO O I A O O
A-Aoo o o o o a«i>
décomposons le groupe de 2/i variables ^i, x^^ . . . , x^n en deux groupes de n variables j^i, ^2, • . .,j^//; 5|, ^3, . . ., 5,,, et posons
Z o' î] viendra
Y| Zi ( r,V»o o I A 00) Y o
i2/(jrt,ar„ ...,jr,„)= x ai ^ ^ ^\^1 '
00 (A fiAifQ o 00 O a «vU ) L o
et, en effectuant les multiplications,
-^, , (Y,-4-Z,A)..l,o(Y-^ AZ)-4- aZi^IoZ o
l2/(a7i, jrj,...,a7j„) —
équation que Ton peut écrire, en désignant par g la forme représentée par le système ^l», et par h son adjointe
(12) /•(x) = /KY-f.AZ)4-«^(Z);
et le sens de celte dernière relation sera bien précis, si Ton se
266 ALOÈBRE.
reporte à ce que j'ai dit de la notation dont je me sers pour les formes quadratiques.
Un point important à établir, et qui résulte immédiatement de la formule (ii), c'est que si le système X est défini et positif, le système ilb Test aussi ; il suffit pour le faire voir de considérer en même temps l'équation (lo).
Je terminerai ce que je voulais dire des fonctions abéliennes par quelques remarques.
Posons
le système 5t, en vertu de l'équation (8), sera symétrique, et l'on aura évidemment
mais
ÂS = B, S", = B7 et S^JS^= A'»«-Û,
donc on aura
JBJB, = X-3l, d'où
(i3) i = AÎÎ.
Cette équation fait voir que si d'une fonction abéiienne aux périodes C et J^, on en déduit une autre aux périodes S et £ au
moyen des formules (4), le système J3l joue le rôle d'un véritable invariant.
Si, par une même substitution S, on déduit d'un paramètre 3i un paramètre JBI, et d'un paramètre 51' un paramètre 10', on aura
En particulier, faisons
3<' = A — /l, 01 B' = B — r Dî, , il viendra
rexpressioii v(T-hSL ) a un sens bien précis, car c'est le dé-
SUH LE CALCUL DES SYSTÈMES LIXKAIHE8. jG^
nominatcur commun des éléments de IH ; en appelant m ce dénoininaleiir commun, 6 et a les déterminants des systèmes ill> et X^ on aura donc
En faisant dans les formules précédentes /i = 2 , on retrouverail, avec une légère diflférence dans la notation, les formules que M. Hermite a données dans son Mémoire sur les fonctions abéliennes. Seulement, les systèmes à seize éléments qu'il a considérés ne sont pas tout à fait les mêmes que ceux dont j'ai fait usage ;
ao ^1 Oj «3 ^j b\ ôi 6,
do ii\ df di
étant un des systèmes qu'il emploie, les systèmes abéliens du second ordre seront donnés par l'expression générale
Uq «1 «3 rtj
bo bx bz bf
do di di rfj
Co C\ Cj Cj
SUU LES
