CO VARIANTS DOUBLES DES FORMES BINAIRES

liullelin de la Société Philomathique de Paris, 6" série, t. VIII; 187Q.

1. ConsidcroDs un sj^stèmc composé d'un nombre quelconqne de formes binaires (ce système pouvant se réduire à une forme unique).

Soit U un covariant de ce système de formes. On désigne sous le nom (ïémanants de ce covariant les polynômes contenus dans les expressions suivantes :

^X^^di^^dV ^'

Je représenterai simplement un émanant de U par la notation (U)/, l'indice / indiquant le degré de ce polynôme par rapport aux variables $ et r,.

l^orsque Ton identifie les variables $ et r, aux variables j: et^, * chaque émanant se réduit à la forme U.

â. On sait que les émanants de U sont des covariants doubles du système de formes donné, c'est-à-dire qu'ils se transforment en des polynômes composés d'une façon semblable, lorsqu'on assujellit les deux systèmes de variables x, vet $, T^ à des substitutions cogrédionlos.

Tout covariant double d'un système de formes se compose d'émanants et du covariant ^^xr^ — ^>*i)» que je représenterai pour abréger par (o.

On a. en ell'ot, la proposition suivante : si II désigne un covariant double quelconque du >\stème de formes donné, on peut

SUR LES COVAUIANTS DOUBLKS DES KOIl.MKS BIXAIIIEK. 2%

metlre II sous la forme suivante, / désignant le degré de ce polynôme par rapport aux variables Ç et r,,

H =:(A)/-<-w(B)/i-+-w*(C)/,-h ..., A, B, G désignant des covariants du système de formes donné.

3. Celte proposition est très utile dans une foule de calculs algébriques. Je ne citerai ici que quelques exemples très simples, mais dont l'application est fréquente dans la théorie des surfaces du troisième et du quatrième ordre, ainsi que dans la théorie des courbes du quatrième ordre.

Soit F un polynôme du quatrième degré; proposons-nous de calculer Texpression

^^' '^[' dx ' dy J

Celle expression est un covarianl double de F, du degré 3 par rapport aux coefficients et du degré 6 par rapport aux variables x Gly<i ainsi que par rapport aux variables Ç et 7^.

De plus, û change de signe quand on échange entre elles ces deux systèmes de variables; son développement ne doit donc con- Lenir que des puissances impaires de co et Ton a

A désigne un covariant de F, du degré i o par rapport aux variables et du degré 3 par rapport aux coefficients; comme un tel covariant ne peut exister, on a nécessairement

l'on a de même C = o, car C ne pourrait être qu'un covariant de F du degré 2.

B est un covarianl du degré 6 par rapport aux variables et du degré 3, par rapport aux coefficients; ce ne peut être que le covariant sextique de F ; en désignant par J ce covarianl, on a donc, à un facteur numérique près, la formule

dr^

aTO ALGEBRE.

4. Considérons encore la forme biquadralique F et son hessien H; posons

Celte expression est un covariant double de F, du degré 4 P^i* rapport aux variables i et t), du degré 3 par rapport aux coefGcients; de plus, û change de signe quand on échange entre elles les variables ; on peut donc poser

i2 = (o(A),-f-co«(B),;

B, ne pouvant être qu^un covariant de F du degré 2, est nul ; A, étant un covariant de cette forme, du degré 6 par rapport aux variables et du degré 3 par rapport aux coefficients, est le covariant sextique de J.

On a donc, à un facteur numérique près, pour û la même expression que dans le paragraphe précédent.

5. J'appliquerai ce qui précède à une question relative aux courbes de quatrième classe. On sait que l'on peut trouver divers systèmes de coniques quadruplement tangentes à une telle courbe. Étant donné Tun de ces systèmes, il lui correspond, dans le plan de la courbe, une cubique K et une conique G; toute droite du plan, tangente à G, a pour polaire, relativement à K, une des coniques quadruplement tangentes du système.

J'ai démontré, dans mon Mémoire de Géométrie analytique, inséré dans le Journal de Liouville (janvier et février 1872), la proposition suivante :

f( Étant données une courbe de la quatrième classe et une conique, on peut construire une courbe du neuvième ordre, qui passe par les vingt-huit points doubles de la courbe de quatrième classe et les vingt-huit points de rencontre des huit tangentes communes aux deux courbes, et qui, de plus, touche la courbe de quatrième classe aux points où elle est touchée par la conique. »

J'ai fait voir, de plus, que si la conique était la polaire d'une droite D quelconque du plan par rapporta K, la courbe du neuvième ordre se décomposait :

i'' En une cubique (de Steiner) passant par les douze points doubles du groiipo; celte cubiVjiic ne dépend pas de la droite D;