SUR LES COVARIAI^TS DOUBLES DES FORMES BINAIRES

2^ En une courbe du sixième ordre, Q, passant par les seize points doubles qui n^appartiennent pas au groupe.

J'ai donné (§52 de mon Mémoire) Téquation de cette courbe, inais sans la développer et sans mettre en évidence la variable qu'elle renferme ; je veux revenir ici sur cette question.

6. En conservant les notations du Mémoire déjà citées, posons

«0^0—^0 =^'» Goao-^- Ao^o— 2Bo^o= N,

a'>To— Pî =M', Coao-^A,Yo— 2Bo?o=N\ «oTo-i-Coao— '2» ^oPo-+-4(AoCo— B;)= P.

M, N, M', N' et P sont, on le voit, des invariants du système de

formes

AqX* -h 2BoX{x-f- Co[ji't

(Iq X' -h 51 6o Xfl -h Co (X*»

«oX* -H 2 Po Xfi -4- Yo JJt'-

Cela posé, l'équation générale des coniques du groupe, quadruplement tangentes à la courbe de quatrième classe, est

F = MX*H- ïISXV -+- PX«jji2-H 2 VX|x3h- M';xi = o.

L'équation de la courbe Q relative à deux de ces coniques caractérisées par les paramètres X : [x et )/ : [x' est, en désignant comme précédemment par J le covariant sextique de la forme biquadratique F,

oX» ^ dK-d\x ' dXd\x^ ' d^j.-"

En désignant par H le hessicn de F, on voit, en se reportant au §3, que l'équation de cette courbe peut se mettre aussi sous la forme

F(X, ;x)H(X', fJL')- F(X'îx')n(X, ;x) = o,

ou simplement

FH'-F'II =o.

7. L'équation précédente peut être regardée comme le résultat de l'élimination d'un paramètre arbitraire 0 entre les deux équations

0F + 2lI=:<> n OF'-r 7.II'=:0.

Î-Tl ALGEBRE.

On voit ici s'introduire les courbes remarquables du qualri^^ m"tic degré, dont Téquation est

(I) OF-i-AH=o,

courbes que je désignerai sous le nom de courbes (H).

Si, laissant 0 invariable, on fait varier X et [x, on peut dé K — -^srminer facilement l'enveloppe de ces courbes.

Désignons respectivement par S et T Tinvariant quadraliqu ^— -^-> cl rinvariant cubique de F^ on sait que les équations

S = o et T = o

représentent les courbes du quatrième et du sixième ordre, qim ^^*- se croisent aux vingt-quatre points du rebroussement de la com. ^^KT^be de quatrième classe.

Cela posé, l'enveloppe des courbes (H) s'obtient en égalar:^^*- *3 zéro, le discriminant de l'équation (i); d'après une formule ^^

M. Cayley, l'équation de l'enveloppe sera donc

(S»- 27Tî)(e»— os — aT)« = o;

elle se compose donc :

i" De la courbe de quatrième classe elle-même;

îi° D'une courbe de sixième ordre, dont l'équation est

03— OS — 2T = o.

iS-

Les courbes de sixième ordre contenues dans l'équation pr dente se rattachent, on le voit, étroitement aux points derebn sèment de la courbe fondamentale ; et il est remarquable qu'or*^ J soit conduit par la considération de courbes, dont la définition '•^^ ^^^ tirée de l'étude des points doubles.

Je m'arrêterai ici dans cette étude, ayant voulu seulement, ds cette courte Note, indiquer la voie nouvelle où l'on était conduit pour Tétude des courbes de quatrième classe, par la considération de la forme biquadratique F et de ses divers covariants sîmpi ou doubles.

SUR LA