HEPRÉSENTATION DES FORMES BINAIRES

DANS LE PLAN ET DANS l'eSPACE.

Bulletin de la Société Philomathiqué; 187a.

D peut représenter une forme binaire sur une ligne droite F^«fc .«c* n points de cette droite correspondant aux racines de Téqua- ^^^^-■::m que l'on obtient en égalant la forme à zéro. On peut, dans c ^ l3uty employer aussi une courbe quelconque, plane ou gauclie, enre zéro, et un grand nombre de propriétés du système de its situés sur cette courbe, que j'appellerai courbe fondataie, se déduiront immédiatement de celles des formes qu'ils ésentent.

a courbe fondamentale étant choisie, on pourra aussi, d'une *^^^::in plus simple, représenter des groupes de points (ou des *^^^*^*"ines) par un certain nombre d'éléments (points ou droites) qui 1^^^^ ^-irront les déterminer; ce mode de représentation variera d'ail- *^^^ *:*s suivant la nature de la courbe choisie.

^^Itant données deux formes de même degré/" et '^, j'appellerai, Ï^^^^^M.T abréger, faisceau de ces formes l'ensemble des formes ^^-^-■^■::^ prises dans l'expression f-\-\o'^ un faisceau est évidem- ^*^^w;»t déterminé quand on connaît deux des formes qu'il con-

our éclaircir ceci par un exemple, prenons une conique H Ï^^^^^T courbe fondamentale; une forme quadratique sera déter- '^^^■^^e par deux points de cette conique, ou bien, si l'on veut, la droite qui joint ces deux points. C'est ce dernier mode de F^t:"ésentation que nous emploierons [^voir, à ce sujet, un remar- ^^^ble article de M. Weyr, sur Vinvolution du degré supérieur, \^^ ^"elle, t. LXXII)]. Cela posé, on voit que toutes les formes qua- ^^liques d'un faisceau sont représentées par des droites concou- ^^nt en un même point qui représentera ce faisceau. D'où l'on

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déduit immédiatement que la propriété connue de l'heiagone de Pascal peut s'énoncer algébriquement de la façon suivante :

« Étant donnée une équation du sixième degré /"(x) ^ o dont les racines soient «;, si l'on pose, pour abréger,

A/,*=(x — aft)(x-<»i),

on pourra déterminer six facteurs numériques )., [i, X', [*', ).' et [*' de telle sorte que l'on ait identiquemenl

XA|,-(- [iAi( = X'Aij+ [ji,'A(( = X'Aji-t- |Ji'A|g. •

Cette propriété de sis points d'une droite appliquée à une conique donne le théorème de Pascal; appliquée à une cubique, elle fournit à la fois des propriétés de six points quelconques de cette courbe (et, par conséquent, de six points quelconques de l'espace) et des propriétés de sept points quelconques situés sur celte cubique.

Dans ce qui suit, je considérerai spécialement une cubique gauche fondamentale K. Une forme quadratique sera déterminée par deux points de cette courbe et représentée par la sécante qui joint ces deux points. Les droites représentatives d'un faisceau de formes quadratiques sont les génératrices (sécantes de la cubique) d'une quadratique passant parK^ une telle surface représentera donc un faisceau de formes quadratiques.

Cela posé, la propriété que je viens d'énoncer relativement aux racines de l'équation du sixième degré donnera immédiatemenl la proposition suivante :

" Éunl pris par sept points i , 2, 3, 4, 5, 6, 7, sur K, il y existe une droite D (sécante de la cubique) qui rencontre les neuf droites contenues dans les deux Tableaux suivants :

i e(ia) (54) 4Cï3>(56) S{34)(i6)

Il La droite D rencontre donc les six droites contenues dans le Tableau £, ce qui fournit une propriété de six points quelconques de l'espace ; (cette propriété se rattache d'ailleurs à de belles propositions données par M. P. Serret sur les cubiques gauches).