lo

Comme la suite g, 3, 9, lo, 2 n*a pas de variations, on voit que Téquation donnée n'a pas de racine positive inférieure à l'unité ; toutes ses racines sont donc imaginaires.

Exemple IIL — Soit l'équation x* transformée en — x^

montre immédiatement qu'elle a une seule racine négative. Pour avoir une limite du nombre des racines positives supérieures à Tunilé, je forme le Tableau suivant :

Les termes de la diagonale principale présentent trois variations, mais, la suite

2> ALGJ.BUt.

n'en présenlanl qu'une, on voit que l'équation proposée a une seule nicine supérieure a Fu ni té.

A l'égard des racines positives inférieures à l'unilé, je considérerai la transformée en ->

gjT* — 9^* — 4-»" — I = o, qui donne le Tableau suivant :

d'où l'on conclut que l'équation n'a pas de racines inférieures à unité.

W. Soil f{x) un polynôme entier; en désignant par co une quantité positive et par m un nombre entier arbitraire, considérons le développement, suivant les puissances croissantes de .r, de la fraction

Soit \ le nombre des variations de ce déveUq>pemeut; il résulte de ce qui précède que le nombre V ne peut (]ue diminuer quand le nombre ni augmente; il est d'ailleurs, au moins, égal au nombre /i des racines positives de l'équation f{^,r s = o, (pii sont inférieures à co. Cela posé, faisons croître indéfiniment les nombres tu et //i,

de telle sorte que le rapport — ait pour limite un nombre donné positifs: — avant pour limite e*-^, on peut énoncer la pro-

position suivante :

c. destinant un nombre positif', le n^mOre \ t/es variations que pr^ésentc le (iê\cloppenient de e'\f\x\ suivant ies puissances croissantes de x ne peut que diminuer, quand z augmentCy et ii est au moins é^a/ au n*tnd»re p des racines posiiices de C équation J\x) =-. o.

SUR LA TIIÉOUIE DK8 ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. 'jZ

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