SUR LA REPRÉSENTATION DES FORMES BINAIHES DANS LE PLAN, ETC

» Mje Tableau F montre en outre que, la droite D ayant été rminée au moyen des points 1, 2, 3, 4, 5 et 6, tout plan sécant ^ par D rencontre les côtés de Thexagone, dont ils sont les soffurviels, en six points situés deux à deux sur trois droites coucou K*si.n tes.

» IiC point de concours décrit, lorsqu'on fait varier le plan, la cubicjue gauche déterminée par les six points.

» Dans ce qui précède, 3 (12) (54) désigne la droite qui, passant par 1^ point 3, rencontre les droites 12 et 54 ; les autres notations ont, xm ne signification analogue. »

Ojd peut aussi énoncer ces résultats de la façon suivante : « Un

"^^^a gone étant inscrit dans une cubique, par la courbe et chaque

coma j> le de côtés opposés de l'hexagone, on peut faire passer une

qu.a.clrique; les trois quadriques ainsi obtenues ont une génératrice

^^•*^imune qui est une sécante de la cubique. » Une forme cubique

est déterminée par trois points de K5 les plans osculateurs de la

coxax^l^e en ces points passent par un point p situé, comme on le

samt par un beau théorème de M. Chasles, dans le plan P qui

^^*^t,îent les trois points. Je dirai que le point p et le plan P sont

dssooiés; si le point/? parcourt une droite, le plan P tourne autour

^ *iràe autre droite qui est associée à la première. Je représenterai

^'^^ forme cubique par le point associé au plan qui contient les

^ï'oîs points de K qui la déterminent.

Une forme cubique représentée par un point /> est déterminée P^ï* les trois points de contact a, 6, c des plans osculateurs que ■ On peut mener de ce point à la courbe. Si l'on prend les conjugués harmoniques de chacun des points a, b, c par rapport aux ^^vix autres, on obtient un autre système de trois points qui détermine le covariant cubique de la forme ; les plans osculateurs ^^ ces points se coupent en un point/?' représentatif du covariant. Cela posé, les deux points p et p' sont situés sur une même sécante de la cubique et partagent harmoniquement le segment intercepté par la courbe sur cette sécante. Je dirai que les deux points se correspondent par rapport à la cubique.

Le faisceau de la forme représentée par le point/? est représenté par la sécante qui passe par ce point. J'ajouterai la remarque suivante :

« Le plan polaire d'un point donné relativement à la surface

développable S, dont K est l'arête de rebron s sèment, est le plan associé au point correspondant. »

Étant données deux formes cubiques représentées par les points petq, les dilTérentes formes contenues dans le faisceau qu'elles déterminent sont représentées par les difTërents points de la droite /tf. Une droite, dans l'espace, représentera donc un faisceau de formes cubiques.

Si une droite rencontre une génératrice de S, leur point de rencontre représente une forme cubique ayant un facteur carré. D'où celle conséquence :

« Une droite (représentant un faisceau) rencontre quatre génératrices de S; les quatre points où ces droites touchent K représentent le Jacobien du réseau. »

Ëtant donnée une forme biquadratique F représentée par quatre points de K, menons les tangentes en ces points. Ces quatre droites n'étant jamais sur une même quadrique, il n'y a que deux droites D et D' qui les rencontrent toutes.

Donc F est le Jacobien des deux faisceaux de formes cubiques, lesquels sont représentés par les droites D et D'.

Ces deux droites sont associées par rapport à la cubique. Je représenterai la forme F par ces deux droites ou simplement par l'une d'entre elles, puisque par là même l'autre sera déterminée.