FONCTIONS D'UNE VARIABLE

Al UO\E\ DE FRACTIONS RATIOMELLES;

Bulletin de la Société mathématique; 1877.

mélhode que je développe dans cette Note, pour les cas les P**^^ simples, s'applique sans difficulté aux fonctions de la forme ^ 9 oiiW désigne une fonction rationnelle quelconque de x, et ^'^^^^ fV)nctions de la forme

(ax-i-b)^{a'x-^b')'^'.,,,

oti

9 a', • . • désignent des quantités arbitraires quelconques.

a principe que j'ai mis en usage est le suivant: F (x) étant

^*^^ fonction donnée et ^7— ^ la fraction rationnelle dont le déno-

**^sileur est d'un degré donné et qui se rapproche le plus de la

^^*^^ar de la fonction, je cherche à établir entre ç(^), f{^) et

^^i*s dérivées du premier ordre une relation algébrique qui soit

^'^^aiîre par rapport à l'une de ces fonctions, o{x) par exemple,

î^sàr rapport à sa dérivée.

^da posé, en considérant pour un instanty(a:) comme connue, . ^(^) comme une fonction inconnue, on aura une équation *ti^-aîre du premier ordre que Ton saura intégrer au moyen d'une ^^adrature. Comme le résultat de l'intégration est connu d'avance, " Suffira de déterminer à quelles conditions doit satisfaire /(j:) Ç^Ur que ce résultat soit de la forme voulue.

On déterminera généralement ainsi une équation linéaire et du ^^Cond ordre à laquelle satisfera le polynôme /(a:); cette équation ^dnael une seconde solution qui s'exprime facilement au moyen ^^ polynôme ç(^), ou encore, si l'on pose

t-e AtaËBRE.

au moyen de R, comme l'a fait voir ment aux polynômes de Legendre.

Christoflel ( ' ) relatlve-

Développement de

où/"(x) et iy(3:) désignent respectivement des polynômes du degré n et du degré (n — i).

On en déduit

Vîî^

= log»(»)-los/(i)+ (j|-,),

parce que ^ — : est du degré ( — i) eD x; puis, en prenant les dérivées des deux nombres,

A désignant une constante.

Si, dans cette équation, on regarde f{x) comme connue, on a, pour déterminer 'p(^), une équation linéaire et du premier oixire ; en l'intégrant et négligeant d'abord le second membre, on sera conduit à poser

( ' ) Ueber die Gaïasiiche {Journatde CrelU, t. LV).

idratur uad eine Verallgtmeinerang deraelben

(*) Pourabréger.jedésigneriidïns tout cequi suit pari— ^^t une série ordonnée •luivant les puissances décroissantes de x et commençaDl par un terme en — , et par (x") une série ordonnée suivant tes puissances croissantes de ; çant par un terme en x''.

SUR l'approximation des fonctions d'une variable. 279

z étant déterminé par Téquation différentielle

^/«(:r)/ïï=T=A,

d'où

(3) z= f-—^——dx,

ou encore, si Ton désigne par a, ^, ... les racines de Téquation f{x) = o, et si Ton pose, pour abréger,

= y f\—=t + —^ ] dx.

OU encore, en effectuant une intégration par parties,

On déduit de là facilement que z se compose d'une partie algébrique, d'une expression de la forme

et de termes de la forme

dx.

Chacun de ces termes doit évidemment être nul; or un calcul

facile donne

on a donc la relation

qui doit avoir lien pour toute racine de l'équation /(x) ^ o; d , il suitquey(x) satisfait à une équation dilTérentielle du secof' ordre de la forme

(:r'-l)^'+:ry-HP^ = 0.

La valeur de P s'obtient immédiatement en écrivant que le coefficient de x", dans le premier membre, est égal à zéro. On obtient ainsi l'équation bien connue

(4) {x'~-^)y^•^xy-n*y = ^.

2. Puisque le pol^'nomey(x) est une solution de l'équation (4), on obtiendra une seconde solution de cette équation en no<2at

dx

ou bien, en vertu de l'équation (3), et, en venu de l'éqnation (2),

L'intégrale générale de l'équation (4) est donc

A/(iC)+ Bij>(a^)/ïï^.

3. Supposons maintenant que, dans l'équation (i), «(o;) so il regardée comme connue ; pour intégrer cette équation, nous posons

/(j:)=v/x'-ii}.(x)/,

t étant déterminée par l'équation dilTéreutielle

t. pour abréger,

SUR l'approximation des fonctions d'une variable. 281

a, j3, Yî ••• désignant les racines de Téquation y(x) = o, un calcul entièrement analogue à celui que j'ai développé plus haut montre que l'on doit avoir pour chacune des racines

et, par suite,

d'où l'on conclut que cp(;r) est une solution de l'équation différentielle du second ordre

(5) (x^ — !)«'-+- 3ara'-^ (i— /i')m = o.

Sî l'on remarque maintenant que cette équation n'est autre que la dérivée de l'équation (4), dans laquelle on aurait remplacé y par 1/, on en conclut qu'à un facteur numérique près <f{x) est égal à

Il est clair du reste, ce qui est facile à vériGer, que l'équation (5) se déduit aussi de l'équation (4) par la substitution