Soit m une quantité quelconque; posons
?5(j:) et /(x) désignant des poljnomes entiers du degré n. On en déduit
puis, en prenant les dérivées des deux membres,
mib — n) (PÏJr) /'(x) / i \ (x-}-a)(X'i-h] ■" 9{x) /(x) "^ \x*n^*/'
2^2 ALGEBRE.
d'où
(6) mib-a)^(x)f(x)-^{x^a)ix-^b)[^{x)/'{x)^f{x)f\a:)]=A.
A désignant une constante.
Si dans cette équation on regarde /(a:) comme connue, on a, pour déterminer <p(^), une équation linéaire et du premier ordre; en l'intégrant et négligeant d'abord le second membre on posera
z étant déterminée par la relation
(8) -'=/> Af.+ A)'-
(2rH-a)'"-^»/*(jr)
dx.
On doit chercher quelle forme doit avoir /(j:) pour que z ait une expression de la forme donnée par la relation (7); m étant quelconque, on y parviendrait aisément en suivant une marche analogue à celle que j'ai suivie dans le paragraphe précédent; mais on parviendra plus vite à l'équation du second ordre à laquelle satisfaity(a:) en supposant que m est un nombre entier.
Dans ce cas, je ferai remarquer d'abord qu'en vertu de l'équation (6), /{x) ne peut être divisible par(x-h«), car autrement ce binôme diviserait la constante  qui n'est pas nulle; il est clair également qi\ef{x) = o a toutes ses racines distinctes. En appelant donc a, 3, ... les racines de cette équation, on aura un développement de la forme
A«i A,„i Ao
{X — a Z"*^ ix-T-ay* x-^a'
et, pour que 3 ait la forme donnée par la relation (7), il faut que Ao= o, et ensuite que q = o pour toutes les racines de l'équation /{x^ = o. En tenant compte seulement de cette dernière condition, le calcul de q montre facilement que, pour toutes les racines de réquaùon/"\^>r) = o, on doit avoir
SUR l'approximation des ponctions u*une variable. 383
d'où l'on voit que /(a?) satisfait à l'équation du second ordre
(9) (x-h a)(x'\-b)y'-h [ix — m(a — 6)-+- a-h b]y — n(n -^ 1)^ = 0. 5. Cette équation pouvant se mettre sous la forme
on voit que le polynôme /(x) étant une de ses solutions, une autre sera donnée par la formule
ou, en vertu des équations (8) et (7), Si Ton pose, pour abréger,
une seconde solution sera également donnée par l'équation
6. L'équation à laquelle satisfait le polynôme ?(^) s'obtiendrait par la même méthode; mais on voit immédiatement qu'elle se déduit de la première en changeant m en — m; cette équation est donc
Elle se déduit évidemment de l'équation (9), et il devient facile de le constater, par la substitution
7. Pour obtenir sous forme explicite les polynômes f(^x) et ç(jc), je remarque qu'en posant
l'équatioa (9) devient
cette équation est un cas particulier de celle qui définit la série hypergéomélrtque F(û(, p, y, £),
'rfF^^^""'^'"^"''^"
Le polynôme /(x) sera donc donné par la formule
^ (n-M)(«-i-^l...an /J^ + aX" -(„,+ ,)(„ + .,) (m + n)Vn -6/ '
Le poljnome f{^) s'obtiendrait, à un facteur numérique près, en changeant le signe de m dans la formule précédente.
8. Comme application, supposons a := 1 et 6 = — 1, on aura alors
(„i)n(n-H,l(/i + ^l /i + xy
Comme { / se cliange en son inverse quand on change a: en — X, on en conclut que les polynômes /(x) et o(jr), donnés par le* f.iriniiles précédentes, sont liés par la relation
et
SUR L*APPROXIMATION DES FONCTIONS D'UNE VARIABLE. a85
Faisons, par exemple, m = - et /i = 3, il viendra
g /(x) = n-4(i — ar)-+-4(H-^)* (i4-x)ï
f^{x) = — - [i — 12(1 -f- a?) -h 20(1 -h a;)*— 8 (i -^ or)»],
OU, en réduisant,
<p(a7) = - (--i — 4ar-+-4a:j-f-8a7»).
Si Ton désigne par Su la somme des n'*'*"" puissances des racines de l'équation /(;r) = Sx^ — 4-^^ — 4^ -H 1 = o, on doit avoir
Si=S3=S, = l (1).
C'est ce qu'il est facile de vérifier au moyen des formules de Newion.
9. Si Fon considère l'expression — ( j — i , son développement en fraction continue donnera des réduites dont le dénominateur y(;r) sera le même que celui des réduites auxquelles
conduit le développement de ( ■• j •
En faisant, dans l'équation (9), 6 = — i et a = -i- i, on voit donc que ce dénominateur satisfait à l'équation difTérenlielle
et, de ce que j'ai dit plus haut, il résulte qu'en posant
(ni* -i I \ /W
( » ) Voir ma Note Sur un problème d'Algèbre {Bulletin de la Société mal hénutiique, t. V).
Je saisis cetle occasion pour déclarer que M. Dorchardt clait déjà parvenu antcrieuremeDt aux résultats renfermés dans cette Note.
a86 ALGÈBRE.
Si nous supposons maintenant que m tende vers zéro,
a pour limite log ( ^ __ '■ ) ; l'équation (9)' devient l'équation bien
connue qui définit les poljnomes de Legendre et l'on voit, comme l'a fait voir M. Christoffel, que R en est une solution.
