Considérons maintenant l'expression
/ Ail 8 -f- fi \ '« / '^ "^ Ail 0 -h i^
/ Ail d -f- fi \
pouruvoir son développement en fraction continue, nous poserons
— i- Q = a cl < =^; /Il 0 -+- p 0
le dénominateur de degré n de la fraction satisfera à Téquation suivante, que Ton déduit immédiatement de Téquation (9) :
\ /Il 0 H- Ji ' \ 0 '
[/Il [ ao — 3v ) m-^-^i y1 0 V /Il 0 — i > //i 0 -f- 3 0 J
Ftùsons mainttMiant croître indéliniment le nombre //t, la fonçai 3-r
I » . .^.« ^ . I iiurji pour limite e^^^y et Téquation précédente de\ iondra
vn> vV * cj-^\i' - [ JOvY — cx^ — ^10 — 87^] >'— /i</i — i)o«^r = o. 'IVIIo est IVquution diftortMilieUe à laquelle salisfait le dénoraînaleur /\.r^ d'une ivduJto do la fonction c*^***^; en posant
SUR l'approximation des fonctions d'une variable. 287
(p(j:) désignant le numéraleiir de la réduite, une deuxième solution de celte équation sera donnée par la formule
ou encore par celle-ci
De ce que j'ai dit plus haut, il résulte aussi que ^{x) satisfait à Téquation différentielle
(YH-8x)«a''H-[23(Y-h8ar)-f-(a3 — Py)1"'— '«('i-^ i)ô»m = o, et celte équation se déduit de Téquation (11) par la substitution
a-f-pj
Développement de e^*^'.
11. Pour Iraiter un cas un peu plus général, considérons la fonction e^^^\ où F(j:) désigne un poljnome quelconque de degré m et posons
o(j:) el/{x) désignant des polynômes du degré n. On en déduit
F{x) = Iog(p(a7) — \oQf(x) -+- (x»«-»-» ) et, en prenant les dérivées des deux membres,
puis
(12) F'(x)^(x)/(x) - <f'(x)f(x) -+- <p(:r)/'(a:) = ar««e(ar),
S (a:) désignant un polynôme du degré m — i.
Si dans celle équation on considère /(^) comme connu, on a
aftS ALOfcBRE.
une équation linéaire et du premier ordre par rapport à ?(^)« On l'intégrera en considérant d'abord le second membre comme égal à zéro, et posant
(i3) cp(ar) = cFw/(5:)5,
z étant déterminé par la relation
En désignant par a, p, ... les diverses racines de l'équation /(ûc) = o, on pourra poser
P désignant un polynôme du degré (m — i) en a:; d'où
OU encore, en intégrant par parties le second terme de la relation précédente,
-. =/.-.,p^2/fS - 2/-"" ^^^ "•
OU encore
Si Ton examine cette expression de Zj on voit que, pour qu'elle ait la valeur assignée par la relation (i3), on doit avoir, pour toutes les racines de Téqualion f{x) = o,
Or un calcul facile donne
'Àii H » 2 )
f{^)-r^oi)
SUR l'approximation des fonctions d'une variable. 289
on aura donc, pour toutes les racines de l'équation y(j:) = o,
d^où il suit qvLe/{x) satisfait à une équation linéaire et du second ordre de la l'orme
(.5) y^^r(x)^^-^^jy^u{T)y = o.
Cette équation peut se mettre sous la forme
on en conclut qu'une seconde solution est donnée par la formule
ou, en vertu des équations (i3) et (i4)i
12. On déterminerait de même Téquation du second ordre à laquelle satisfait <p(j?); sans refaire tous les calculs précédents, on voit immédiatement que cette équation est de la forme
c'est du reste la transformée de Téquation (i5) quand on pose
EfTec tuant cette transformation sur Téquation (i5), il vient
13. Nous avons encore, pour former Téquation différentielle du second ordre à la(|uellc satisfait /(.r), à déterminer le polynôme
Sgo ALGÈBRE.
B(a:) el la fraction rationnelle H(j:), qui est de la forme
K(x) désignant un polynôme du degré (2 m — 2). A cet effet, si nous posons
et
<f(x) = box^-h biX^^-^-hbiX»-^-^. . .,
et si nous désignons par a, P, Yi • • • '^^ coefficients inconnus des polynômes B el K, les équations (16) et (17) permettront d'exprimer, au moyen de a, p, y, ... les coefficients Oq, a^,
D'ailleurs, Téquation (12) donne également des relations entre ces coefficients et les coefficients inconnus de 6; de ces relations on déduira facilement les quantités a, p, y, ....
Dans une prochaine Note, je communiquerai à la Société le résultat de mes recherches sur le développement de la fonction ^ax+*x« et de la fonction e'^^'+^J^*.
SUR LK
