I -4- IX

l'équation (i) deviendra

équation qui définit une série hjpergéométrique F(a, ^, v, z), pour laquelle on a

y=iH — > a = — n et B = /ih-i.

Cette série est évidemment un polynôme du degré n en z; on a par suite, en désignant par K un facteur indépendant de x,

/(x)= KF^'- 71, /1-+-I, Y,

Convenons de déterminer le polynôme /(^) par la condition

que* soit, pour x = 4- oo , égal à

afa-hi).. (ïH-n — i)p(3-i-i)...fp-J-/i — i)^

en divisant les deux membres de la relation précédente par jr" et en faisant croître indéfiniment x, il viendra

(Toii

SUR LE DÉVELOPPEMENT EN FRACTION CONTINUE. agS

Si, pour plus de clarté, nous représenlonsy( j::) par V„, et sî nous posons, pour abréger,

F(— /i, /n-i. Y, z) =-. F(— /è), on déduit de là

3. Cela posé, en désignant respectivement par 4>, <I>, cl 4>2 les trois fonctions

F(a, p,Y, 5), F(a — I, P-+-I, Y, 5) et F(a -m, p - i, y, 5),

on déduit facilement, des relations données par Gauss (' ), la relation suivante :

p — a-hi p — a — i

Si dans cette relation on fait

5 = a= — /i, a = n-hi, et y =»-+--»

^, ^1 et 02 deviennent respectivement F( — /i), F( — n — i), F( — n -h i), et l'on obtient Féquation

— i(in-^ i)a:F( — n) — (y -h n)F{— n — i) -+- (y— n —i)V{—n -f-i ) = o.

Remplaçons, dans cette équation, F( — /?), F( — //-Hi) et F( — n — i) par les valeurs proportionnelles déduites des rela-

lions (a) et v par sa valeur i -H -> il viendra

V„-Hi = — {in -hi)jrV«-h ln^-{-jj\n-i'

4. Déduisons de (4) les valeurs de V,,^,, V)^^, et VJ,^, et porlons-les dans l'identité

V;,-^, -t- (2T -h i)V;,4-! — (/t -f- i)(ai -h -a) V«-hi = o ;

( ' ) Disquisitiones générales circa seriem {Gauss XVerke^ l. III, p. i3o).

:i94 ALOKBRE.

il viendra, toutes réductions faites,

'jl(i -h x*)\n — (2/ia: — i)V„H- 2 ( /i*-+- y j V„i = o.

5. Des formules précédentes on déduit les valeurs suivantes des polynômes V„ :

Vo = I , Vi = T, Vs = 3? -h 3 jt', ....

Si Ton désigne, en général, par S^ la somme des m*^"" puissances des racines de l'équation V^ = o, il est clair que l'on aura

et

tJ \ 0;| — 05 ... ~

Sj — o^ — 04 = . . , = — — I

m étant au plus égal à un — i .