SUIVANT LES PUISSANCES D UN POLYNOME

Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences^

t. LXXXVI: 1878.

1. Étant donné un polynôme F(z) de degré m, on peut développer une fonction quelconque de z suivant les puissances croissantes de ce polynôme, les coefficients étant des polynômes en z du degré (m — i ), et Jacobi a donné ( ' ) le moyen d'obtenir ces coefficients.

Cette sorte de développement a une importance particulière lorsqu'il s'agit d'évaluer des intégrales définies de la forme f/{xz)F{z) dz et de la forme ff{z — x) ¥{z) dz^ les limites de l'intégrale étant deux racines de Téquation F(c) = o.

En m'occupant, à ce point de vue, du développement de e^^, de (5 — x)"^ et de log(5 — x)^ j'ai été assez heureux pour rencontrer quelques-uns des résultats importants donnés récemment par M. Ilermite, relativement à l'approximation des fonctions transcendantes par des fonctions rationnelles, notamment dans sa Lettre à M. Fuchs Sur quelques équations différentielles, et dans son mémorable Mémoire Sur la fonction exponentielle,

2. En m'en tenant ici à ce qui concerne la fonction exponentielle, soit

(1) €'-^=Z{\]n^z\n-\-...+ zn-'i\\„) ^"(^)-

en désignant par a^ b^ . » , , l les diverses racines de l'équation

(•) Entwickelungen nac/i der Potenzcn eines Polynoms {Journal de Borrhardt. t. LUI, p. 10.')).

296 ALOKBRE.

F(z) = o, on voit facilement que W„ est de la forme

M, , Mj, . . . , M,„ étant des polynômes en x du degré n.

D'ailleurs la méthode de Jacobi montre que W/, est de l'ordre de ^'»»"+'»-* ; il en résulte que les polynômes M|, Mo, . . . , M^ ont précisément les valeurs pour lesquelles l'expression précédente est de l'ordre le plus élevé possible ; chacun de ces polynômes, renfermant en effet (m -h i) constantes arbitraires, les (m-t- i)n constantes dont on dispose ne permettent d'annuler dans cette expression que les coefficients de x^, x* , x^, . . ., x'""'^""^.

Ce point établi, en égalant les dérivées prises par rapport à z des deux membres de l'équation (i), on obtiendra facilement les relations qui permettent d'obtenir par voie récurrente les diverses fonctions W,,.

En égalant de même les dérivées prises par rapport à x^ on obtiendra l'équation différentielle suivante, à laquelle satisfait la fonction W„ et où j'ai posé

F{x) = jr"'-h \x'"-^-^. . -4- Kx-h L,

do:"' dx'"-^ dx -^

— n\ m —, V -^ ( fit — 1) A — =T -4- ... -h K V ) = o.

L'intégrale générale de celte équation est évidemment C|, C^, ..., Cm désignant des constantes arbitraires,

C, M, f «-^^ C2 Mj^?^-^-^ . . . -t- G,„ iM;;, ^z-^.

Celte équation, du reste, peut s'intégrer directement. Il suffit, en effet, d'intégrer l'équation adjointe de Lagrange

—, — X u ( A X — n m ) u -\ — [ B r — n ( //? — O A 1 ti -4-. . . = o.

ou, en (lévelo|)pant,

/ d"'ii , d'^'-Ui , , \

(/x'" ' dx'"-^

r d"'-^ Il . d'" '^li ,. 1

I r/./"'-> dx"' ^ J